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Questa conclusione, per quanto riguarda l'ip. ang. ottuso, sembra contraddire i teoremi di Saccheri, Lambert, Legendre, che escludono fin dal principio la possibilità d'una geometria fondata su detta ipotesi. La contraddizione si elimina però facilmente riflettendo che nella dimostrazione di quei teoremi si utilizzarono non solo le proprietà fondamentali pertinenti ad una regione limitata di piano, ma anche proprietà del piano completo, ad. es. l'infinità della retta.
FONDAMENTI D'UNA GEOMETRIA PIANA
SECONDO LE IDEE DI RIEMANN.
§ 70. Le precedenti osservazioni ci guidano a porre i fondamenti d'una geometria metrica, prescindendo dal postulato di Euclide e adottando un punto di vista più generale di quello innanzi tenuto.
a) Ammettiamo di partire da una regione limitata di piano [regione normale], non dell'intero piano;
b) concediamo come postulati quelle proposizioni elementari, rivelateci dai sensi, nella regione inizialmente presa; proposizioni relative alla determinabilità della retta, alla congruenza etc.;
c) ammettiamo che le proprietà della regione iniziale si possano estendere all'intorno di un punto qualunque del piano [non diciamo al piano completo abbracciato con un solo sguardo].
La geometria sviluppata in base a questi principi sarà la più generale geometria piana, conciliabile coi dati che esprimono il risultato delle nostre esperienze prese in un senso rigoroso, ma limitatamente ad un campo accessibile.
In base a quanto si disse nel § 69 è chiaro che la detta geometria troverà una concreta interpretazione in quella delle superficie a curvatura costante.
Ma tale corrispondenza sussiste soltanto dal punto di vista [differenziale] secondo cui si confrontano delle regioni
