La fisica dei corpuscoli/Capitolo 3/2

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 3 - Equazione fondamentale della teoria dei gas

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

Capitolo 3 - Equazione fondamentale della teoria dei gas

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2. — Equazione fondamentale della teoria dei gas. — Sia una certa quantità di gas contenuta in un recipiente di volume determinato.

Consideriamo lo spazio compreso tra due piani paralleli fra loro e perpendicolari all’asse $x$. Le pareti che limitano questo spazio e che non sono parallele al piano $yz$ le supporremo talmente lontane da non avere influenza sul moto delle particelle.

Conforme al postulato f) le molecole hanno tutte velocità eguali o piuttosto attribuiamo a tutte una stessa velocità media che indichiamo con $c$. Ciò che varia da un molecola all’altra sarà la direzione di $c$. Supponiamo dapprima una particella che si muova perpendicolarmente ad una delle pareti laterali, per fissare le idee, alla parete sinistra. La forza con cui la particella urterà la parete darà data da:

4)	$f\,=\,m\,{\frac {dc}{dt}}$ .

se $m$ è la massa della particella e quindi

5)	$f\,dt\,=\,m\,dc$,

Per l’ipotesi della perfetta elasticità l’effetto dell’urto di cui ci occupiamo farà che la particella viene rimbalzata dalla parete rigida con una velocità eguale in grandezza e in direzione a quella che aveva avanti l’urto, ma cambiata di segno. Sicchè la variazione totale $dc$ della velocità è da $-c$ a $+c$ e quindi

$dc\,=\,2\,c$.

L’effetto dell’urto sulla parete si avrà integrando la 5) ed estendendo l’integrazione rispetto al tempo a tutta la durata dell’urto, e quella rispetto alla velocità ai valori estremi che essa prende. Se la durata totale dell’urto si chiama con $\tau$ potremo scrivere:

$\int \,f\,dt\,=\,f\,\tau \,=\,\int _{-c}^{+c}m\,dc\,=\,2\,m\,c$

Se la direzione di $c$ non fosse perpendicolare alla parete dovremmo prenderne la componente nella direzione della $x$. Perciò introduciamo l’angolo $\varphi$ che la direzione di $c$ fa con l’asse $x$. Allora la componente perpendicolare alla parete considerata è $c\;cos\;\varphi$. Sempre nell’ipotesi della perfetta elasticità la particella rimbalzerà sulla parete con la legge della riflessione e la sua velocità subirà una variazione totale data da $2\;c\;cos\;\varphi$. L’effetto dell’urto sulla parete sarà dunque in questo caso espresso da

6)	$2\,m\,c\,cos\,\varphi$.

La pressione che subisce la parete è la somma di tutti gli impulsi dovuti alle particelle che urtano. Noi sogliamo concepire la pressione come una forza agente con continuità sulla parete, ma nel modello di gas che ci siamo formato la pressione risulta piuttosto da una specie di bombardamento, e la continuità è solo apparente e connessa col fatto che gli urti si succedono con grande frequenza e in numero grandissimo sicchè si può ritenere che siano uniformemente distribuiti su tutte le pareti e su ogni zona di esse. Se vogliamo dunque determinare il valore della pressione dobbiamo prendere un intervallo di tempo abbastanza grande, affinchè sia molto grande il numero degli urti da poter garantire l’uniformità della distribuzione, tanto nel tempo che nello spazio. Una durata di tempo sufficientemente grande sarà il secondo perchè rispetto ad un secondo la durata di un urto è piccolissima. Diremo dunque pressione di un gas la somma degli impulsi che le particelle esercitano sulle pareti durante un secondo. Così definita possiamo calcolarla partendo dall’impulso di un solo urto che abbiamo calcolato nella 6).

La stessa molecola che ha urtato la parete portandovi un impulso $2\;m\;c\;cos\;\varphi$ potrà tornare sulla stessa parete più volte durante un secondo. Se la particella potesse camminare liberamente senza scontrarsi con le altre essa percorrerebbe tutta la distanza $a$ tra le due pareti in un tempo espresso da $a/c\;cos\;\varphi$ e quindi ritornerebbe ad urtare la stessa parete in un tempo dato da $2a/c\;cos\;\varphi$. Sicchè il numero degli urti che una stessa molecola sarebbe in un secondo sopra la stessa parete è dato dal reciproco dell’ultima espressione ossia sarà

7)	${\frac {c\,cos\,\varphi }{2\,a}}$.

In realtà le cose non stanno così perchè la molecola non passa liberamente da una parte all’altra; nel suo cammino urterà più volte contro le altre molecole e sarà deviata dall’urto. Ma poichè il numero delle molecole è grandissimo si può supporre che per ogni urto che devia una molecola dalla sua direzione ve n’è un altro che spinge un’altra molecola nella direzione della prima, sicchè questa seconda prende il posto della prima e tutto procede come se fosse sempre la stessa molecola a percorrere indisturbata il tragitto da una parete all’altra. Un’altra ipotesi inclusa nell’espressione 7) è che la durata dell’urto sulla parete sia piccolissima e trascurabile rispetto al tempo impiegato per andare da una parete all’altra. Queste due ipotesi sono entrambe ammissibili e corrispondono abbastanza bene ai fatti come si deduce dai risultati.

Ciò premesso potremo dire che il contributo di pressione portato in un secondo da una sola molecola sopra una parete verso cui si muove con una direzione che fa un angolo $\varphi$ con la normale è dato dal prodotto della 6) e della 7); ossia:

8)	$2\,m\,c\,cos\,\varphi \,{\frac {c\,cos\,\varphi }{2\,a}}\,=\,{\frac {m\,c^{2}\,cos^{2}\,\varphi }{a}}$ .

Si tratta ora di estendere questo risultato a tutte le molecole. Per ciò bisogna prima determinare quante, fra tutte le molecole contenute nello spazio considerato, si muovono verso la parete con una lieve inclinazione $\varphi$, o piuttosto con una inclinazione compresa fra due valori vicinissimi $\varphi$ e $\varphi +d\varphi$. Questo numero dovrà moltiplicarsi per l’espressione 8) e poi si dovrà integrare l’espressione differenziale che ne risulta per tutti i valori possibili della $\varphi$.

Le molecole hanno, per ipotesi, tutte le direzioni possibili, e poichè non vi è ragione di stabilire nessuna direzione privilegiata la distribuzione delle direzioni di velocità sarà uniforme per tutte. Sicchè. se consideriamo un piccolo elemento di volume da cui escono le molecole e intorno a questo elemento come centro descriviamo una sfera e sulla superficie di questa segniamo i punti su cui verranno a colpire la molecola, questi punti daranno distribuiti con densità costante su tutta la superficie sferica. Fra tutte le molecole che escono dall’elemento considerato quelle che fanno con la direzione della $x$ un angolo compreso tra $\varphi$ e $\varphi +d\varphi$ andranno a colpire la sfera sulla superficie intercettata da due coni circolari che hanno il vertice nell’elemento di volume e le cui generatrici fanno con l’asse della $x$ l’uno un angolo $\varphi$, l’altro un angolo $\varphi +d\varphi$. E poichè la distribuzione dei punti colpiti della sfera è uniforme il numero delle molecole che la colpiranno con direzioni comprese tra $\varphi$ e $\varphi +d\varphi$ starà al numero totale delle molecole che vanno in tutte le direzioni come la superficie di quell’anello sferico sta a tutta la superficie sferica. Ora l’area di quell’anello, supponendo il raggio della sfera unitario, è evidentemente data da $2\pi \;sen\;\varphi \;d\varphi$, mentre l’area di tutta la sfera è $4\pi$. Quindi il numero di particelle che escono dall’elemento di volume nella direzione considerata sta al numero totale di particelle uscenti come $2\pi \;sen\;\varphi \;d\varphi$ sta a $4\pi$. E poichè ciò che si dice per l’elemento di volume considerato si può ripetere per tutto il volume occupato dal gas, così come diciamo $v$ il numero di molecole che si muovono con le direzioni volute ed $n$ il numero totale delle molecole contenute in tutto il volume potremo scrivere

${\frac {v}{n}}\,=\,{\frac {2\,\pi \,sen\,\varphi \,d\varphi }{4\,\pi }}\,=\,{\frac {1}{2}}\,sen\,\varphi \,d\varphi$ .

Di qui possiamo ricavare il valore di $v$, e sarà:

9)	$v={\frac {1}{2}}\,n\,sen\,\varphi \,d\varphi$.

Queste $v$ molecole porteranno un contributo dato dal prodotto delle sue espressioni 8) e 9), ossia:

${\frac {n\,m\,c^{2}\,cos^{2}\,\varphi \,sen\,\varphi \,d\varphi }{2\,a}}$ .

E allora non resta che integrare questa espressione rispetto a $\varphi$ tra i valori limiti che essa può assumere, nell’ipotesi fatta tra 0 e $\pi$, per avere l’effetto totale sulla parete considerata. Se indichiamo con $P$ questo effetto avremo:

10)	$P=\int _{0}^{+\pi }{\frac {n\,m\,c^{2}\,cos^{2}\,\varphi \,sen\,\varphi \,d\varphi }{2\,a}}={\frac {n\,m\,c^{2}}{2\,a}}\int _{0}^{+\pi }cos^{2}\,\varphi \,sen\,\varphi \,d\varphi =$
	$={\frac {n\,m\,c^{2}}{a}}\int _{0}^{+{\frac {\pi }{2}}}cos^{2}\,\varphi \,sen\,\varphi \,d\varphi ={\frac {1}{3}}\,{\frac {n\,m\,c^{2}}{a}}$ .

Questa grandezza $P$ è la totalità degli impulsi che le molecole comprese nello spazio considerato comunicano durante un secondo alla perente in questione e anche la quantità di moto che la parete stessa ha comunicato alle molecole: è in altri termini la pressione che subisce la parete. Noi sogliamo concepire la pressione come una forza, mentre qui si presenta come un impulso o come una quantità di moto, ma la quantità di moto che una forza comunica durante una unità di tempo coincide con la misura stessa della forza.

Se ora chiamiamo $s$ la superficie di ciascuna delle due pareti laterali, e indichiamo con $p$ la pressione esercitata sull’unità di superficie avremo

$p\,=\,{\frac {1}{3}}\,{\frac {n\,m\,c^{2}}{a\,s}}$

e poichè $as$ è il volume di tutto il gas e lo indichiamo con $v$ potremo anche scrivere

$p\,=\,{\frac {n\,m\,c^{2}}{3\,v}}$

od anche:

11)	$p\,v\,=\,{\frac {1}{3}}\,n\,m\,c^{2}$

che è l’equazione fondamentale della teoria cinetica dei gas.

Questa formola fu data prima da Joule, poi ripresa dal Krönig, e di nuovo data e dimostrata dal Clausius¹.

Si può osservare che si giunge alla stessa formola con un ragionamento molto più semplicista. Supponiamo che di tutte le molecole $n$ del gas un terzo si muovano parallelamente all’asse $x$ e gli altri due terzi rispettivamente secondo $y$ e secondo $z$; l’uniformità della distribuzione delle direzioni giustifica questa ipotesi. Ciascuna delle molecole che si muove secondo $x$, ossia perpendicolarmente alla parete, porta un impulso $2\,m\,c$ come si è visto e ciascuna urta sulla parete $c/2\,a$ volte in un secondo, quindi ciascuna molecola contribuisce alla pressione durante un secondo con un impulso totale dato da $m\,c^{2}/a$, ma le molecole che camminano in quella direzione, secondo l’ipotesi sono $n/3$ dunque l’effetto totale sarà $n\,m\,c^{2}/3\,a$ come è dato dalla 10). Questo ragionamento è quello seguito da Krönig e conduce alla stessa formola fondamentale.

Note

1. Clausius — Pogg. Ann. t. C — p. 353. — Salvo alcune modificazioni insignificanti la forma qui usata nella dimostrazione è sostanzialmente la prima dimostrazione data dal Clausius. Si può osservare che dovendo estendere l’integrazione a tutto uno spazio bisognerebbe considerare anche le variazioni di un angolo azimutale $\theta$. Ma il fattore che introduce questo angolo nell’espressione differenziale è soltanto un $d\,\theta$ che nell’integrazione darebbe $2\,\pi$, e questo fattore viene eliminato da un divisore $2\,\pi$ che verrebbe associato a $d\,\theta$ nell’espressione 9).
   Nella stessa memoria il Clausius dà in nota una dimostrazione più rigorosa perchè fa a meno di qualche ipotesi qui ammessa, ma al tipo di soluzione dei problemi di prima approssimazione di cui mi occupo in questo capitolo è più conforme quella che ho riportato.