De gli horologi solari/Horologi piani orizontali
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HOROLOGI
PIANI
ORIZONTALI.
Hò stimato necessario dovere insegnare prima come si facciano detti Orizontali con la seguente regola.
Descrivasi in una superficie piana la quarta ABC d’un cerchio, il quale ci rappresenti il Meridiano, e sia inteso il punto B per quello dello Zenit, la linea BC, essere la comune sectione del cerchio verticale, e del Meridiano, e la ACH, quella di esso Meridiano, e dell’Orizonte. Dividasi la circonferenza AB in novanta particelle uguali, e di queste ne siano numerate tante dal punto del Zenit B verso A in D, quanti sono i gradi della latitudine di quel luogo, per lo quale si .jpg)
abrica fabrica fabrica l'Horologio, che è l’istesso, che l’elevatione del Polo sopra l’Orizonte; siano per modo d’essempio dal C fino a D, 43.30'. quanto s’alza il Polo alla mia Patria Vrbino; sarà la circonferenza, che resta fino all’Orizonte AC, quanto sopra di esso si eleva il piano dell’Equinottiale; onde la linea retta, che dal punto D, passa per lo centro C, sarà la comune sectione del Meridiano, e dell’Equinottiale, e la CG, che li è ad angoli retti, l’asse del Mondo.Siano poi dal punto D, verso B, posti gr. 11.30'. per i principij del Tauro, e della Vergine, et altretanti dal punto D, verso A, per i principij dello Scorpione, e de Pesci; Dal medesimo D, verso B, ne siano posti 20.12. per i principij de i Gemelli, e del Leone, et verso A, per quelli del Sagittario, e dell’Acquario, ultimamente dall'’istesso D, verso B, et A, in E, et F, 23.30'. per i principij del Cancro, e del Capricorno: volendo descrivere nell’Horologio tutti i paralleli, che passano per i principij di ciaschedun segno, che se ci si volessero anco quelli, che passano per mezzo, o per altra qual si voglia parte di loro, dalla tavola posta nel fine di questo Capitolo, si haveranno i gradi che declinano dall'Equinottiale, et altrettanti se ne rapportaranno con l’ordine detto di sopra o verso A, o verso B, secondo quello che si desidera fareː e bastando per gl’Horologi Orizontali sufficientemente i due estremi de i Tropici, e quello di mezzo dell’Equinottiale, di questi ci serviremo solamente; e perciò da i loro termini E, e F, si faranno le linee EH, FN, equidistanti alla DC dell’Equinottiale. Stabiliscasi poi nella BC prolungata, la grandezza del Gnomone, quale sia CM, e per M, faccisi la KMO parallela alla AH, dalla quale si seghino le EH, DC, FM, prolungate ne i punti OLK.
In un’altro piano descrivasi il cerchio PRQS, il cui semidiametro sia uguale alla GE della prima figura, e di tutto il diametro RS, la parte ST, uguale alla NF, e fatta per il punto T, ad angoli retti alla RS, la PTQ, remarrà la RT uguale alla EH, e la portione PRQ, sarà l’arco diurno del Solistitio del Verno.
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Varietà de gl’Horologi in che consista.Ma perche degl’Horologi hanno l’hore, che cominciano dal mezzo giorno, altri dal levare, et altri dal tramontare del Sole, e perciò è da sapere, che la differenza della fabrica loro non consiste in altro, che nel modo di dividere questo cerchio; cioè nel luogo, dove si ha da principiare a partirlo, avvenga che in tutte le foggie d’Horologi sempre vada diviso in ventiquattro parti per le ventiquattro hore. Se In ogni luogo lo spitio d’un giorno naturale si divide in 24. hore.|dunque si volesse fare con l’hore che mostrano quanto è, che sia levato il Sole, come usarono già quelli di Babilonia; si comincierà dividerlo dal punto P, dell’Oriente; se all'usanza degl’Oltramontani, che contano l’hore dal mezzo giorno, e dalla mezzanotte, da uno delli due punti R, et S, e se dal tramontare del Sole, come noi altri Italiani, si comincerà dal punto Q dell’Occidente; e se anco vi vorrà fabricarne di quella sorte, che alcuni li hanno chiamati con l’hore Planetarie, et altri con voce Greca χαιριχας, cioè temporali, o volgari, e Tolomeo nell'Analemma le Cel. Rod. li. 2.9. Aloxab. Alex. 4.20 nominò sempre antiche:si dividerà tanto la portione PRQ, quanto la PSQ in dodici parti l’una. Volendone dunque descrivere uno secondo il costume d’Italia, dividai il predetto cerchio in ventiquattro parti uguali, cominciando, come si è detto, dal punto Q dell’Occidente, e ciascuna divisione sia notata col suo proprio numero, ponendo nel punto Q il segno della vigesimaquarta, seguitando nella portione maggiore fino alle nove, che caderanno nel dato essempio presso al punto q, e nella minore fino alle sedici, che vengono vicine al medemo punto P. 36. del Primo. Prendasi poi nella prima figura quanto è dal punto N al punto O, overo da C, a L, che è l’istessoː (et in questa seconda) riportasi nel diametro RS, da T, verso R, in X, e verso S, in Y, per i quali X, Y, siano fatte le αχβ, γυδ equidistanti alla PQ, e lo spatio, che è l'intervallo nel diametro dell'Orizonte dal centro del Mondo, e sin dove si sega con esso, quello del Tropico, sia posto nella seconda dal punto T, nella PQ, verso P in V, e verso Q, in Z. poi da tutti quelli dell’hore segnate nella circonferenza, siano tirate due linee, le prime, che passino per T, e vedino a terminare in una delle due αβ, γδ, cioè quelle della portione maggiore in una, e l’altre nell’altra, per isfuggire la confusione, e le seconde, quelle da i punti della.jpg)
circonferenza RQS, per V, quelle di RPS per Z, con avvertenza, che le medesime vadino a terminare nella medesima linea, tanto della portione maggiore, quanto della minore; notando tutti detti termini con gl’istessi caratteri dell’hore, che sono segnati quelli della circonferenza.
Sia fatto in un’altro piano, un mezzo cerchio εζθ, il cui semidiametro ηζ sia uguale alla CD, della prima figura; e si come
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il cerchio passato ci rappresentò le portioni diurne de Tropici, così questo servirà per l’hore diurne dell’Equinottiale, e per ciò dividerassi in dodici parti uguali, notando le 24. al punto θ, e prolungata quella dal punto delle 18. per il centro η in χ, tanto che la ηχ venga ad essere uguale alla CL, della prima figura; facciasi per χ, la λχα equidistante alla εθ, e finalmente da i punti della circonferenza, siano tirate linee rette per il centro η, finchè seghino la λμ, e notate l’intersecationi con gl’istessi numeri, che son quelli della circonferenza.
Preparate queste cose con quella maggior diligenza che sia possibile, l’hore si descriveranno nella maniera che segue. Espongasi in un piano due linee πρ, ST ad angoli retti fra loro nel punto Y, una delle quali πρ, servirà per la linea meridiana, e l’altra ST, per l’Equinottiale, nella quale dal punto Y, che è l’istesso che, che x della precedente figura, si riportaranno tutti i punti dell’hore, che sono nella λύζ e quanto nella prima figura, e dal punto O, al punto L, overo nella seconda figura, e da T à V, ò da T, à Z, facciasi che altretanto, dal punto Y siano lontani nelle meridiane i punti πρ. Volendo dunque segnare i termini dell’hore de i Tropici, sia nella seconda figura preso l’intervallo, ch è tra l’uno, e l’altro punto delle 23. del .jpg)
Cancro, per essempio segnate nella γY, dove sono l’hore doppo mezzo giorno, e traslato da π verso ρ, in τ, e per il punto φ fatta la ρχ, equidistante all’Equinottiale ρ, e tanto lunga, quanto τ è l’intervallo, che nella medesima seconda figura è fra il punto Y, al punto di quelle 23. che passorono per τ, sarà il punto x, quello del termine delle 23. del Cancro, che si voleva travoare. Per l'altro della medema vigesimaterza del Capricorno. Si prenderà nella χα, dove sono l’hore dopo mezzo dì del Verno, la distanza che è fra ambe i punti segnati 23. e si trasportarà da ρ verso π in ψ, e fatta la ψω equidistante alla δτ, et uguale alla distanza, che è fra il punto χ. e quellodelle 23. che passorno per τ, si haverà l’altro termine per congiungerlo col primo χ, con una linea retta, la quale farà l’horaria della vigesimaterza, e passarà per il punto della medesima hora, che si notò nella ρT dell’Equinottiale, essendo la comune settione del cerchio horario, e del piano nel quale si disegna l’Horologio. 3. del XI.Con questo istesso mezzo si faranno tutte l’altre, le quali fino alle sedici in questo nostro Clima, hanno sempre tre punti, i due de i Tropici, e quelli dell’Equinottiale, le 15, 14, e 13 poi che ne hanno due soli, si tiraranno indeterminate dalla parte che le manca il terzo; le 12, vanno equidistanti alla linea dell’Equinottiale: le 11, per diritto al punto delle 23, di essa Equinottiale, e cosi le 10, à quello delle 22; le 9. alle 21, e l’altre se ci potessero venire, sempre a quei punti, che sono distanti da esse, per lo spatio di dodici hore; come si dimostrerà.
E se bene d’havere operato con accurata diligenza ce ne sarà certi il vedere passare per tre .jpg)
punti tutte quelle linee horarie, che hanno l’uno, e l’altro termine; se ne verrà nondimeno ancora in più chiara notitia, col tirare dal termine d’un’altra, nell’Equinottiale, una linea retta, la quale se si farà operato bene passarà per il termine d’un’altra dell’altro Tropico, ugualmente lontana, come la prima da quello di mezzo; come per essempio, se dal termine delle diciasette del Capricorno, per le venti dell’Equinottiale, tirata una linea passarà per le ventitrè del Cancro lontana per tre hore dalle venti, come sono anco le diciasette, e cosi s’esperimentaranno tutte l’altre de i paralleli uguali, et ugualmente lontane da quelle, che si prendono nell’Equinottiale, che è il massimo parallelo, come si raccoglie dalla conversa della terzadecima del terzo de i Sphaerica di Menelao di Alessandria.
Resta per compimento dell’Horologio, che si assegni il luogo dove si hà da porre il Gnomone, che è quello stile con l’ombra del quale si conoscono l’hore, che sarà nel punto trovato nella RE, tanto lontano da R, quanto nella prima figura è lo spatio frà li punti LM, e tanto lungo quanto si stabili lunga la CM.
Ma perche forse la quantità de i tanti punti nella meridiana πρ, potrebbe generare qualche confusuione, particolarmente ne i piccioli; perciò riuscirà forse utile il fare per i punti πρδT linee equidistanti alla πρ, δT, e dalli punti πρδT linee equidistanti alla πρ, δT, e dalli punti 1.2.3.4. dove si segano insieme, trasportare tanto dall’una parte, quanto dall’altra le sopradette misure, che serviranno ancora per fare le perpendicolari alla meridiana ωρ, con minor fatica; anzi vicino alle due 1.2. e 3.4. se ne potrebbero fare due altre, per segnare nelle prime i punti dell’hore innanzi mezzo giorno, e nelle seconde quelle dopo; per minor intrigo.
Si farebbe anco l’Horologio con maggior facilità, se dopo havere notato nelle linee 1.2.3.4. tutti i punti, come si è detto; si havessero segnati in una lista di carta, da una parte tutti i punti dell’hore del Cancro, che nella seconda figura sono nella γδ, cioè quelle sole, che passorno per il punto T, e dall’altra quelle dell’αβ, del Capricorno: e ponendo detta lista sopra i punti, che si corrispondono nelle linee 1.2.3.4. con fare che il punto di mezzo, che risponde à χ, et y, vada sempre per la πρ, venire segnando in ciascuna positura il termine della sua hora, o prima, ò dopo mezzo giorno ch’ella si siaː nel che s’avantaggia molto.
Riusciranno senza verun dubbio più chiare, et intelligibili, i precetti dati in questa regol, e quelli che si daranno di mano in mano nell’altre; se con le ragioni matematiche si dimostrerà dell’origine, e fondamento loro, e di dove siano stati dedotti.
DIMOSTRAZIONE.
Pongasi oltre a ciò GM, uguale à quella parte del Diametro dell’Orizonte, che è interposta frà il centro del Mondo O, et il punto G, e dal punto F, ai punti G, et M, siano tirate le linee FMN, FGH, finche seghino la KN, in H, et N.
Primieramente dico la KN, essere uguale alla perpendicolare, che del punto X, cade sopra la KN, e la HK, alla perpendicolare, che dal medemo punto X, cade sopra KL, congiungasi i punti H, et X. Perche dunque al piano dell’Orizonte, è Parallelo quello dell’Horologio 2. dell’undecimo..jpg)
, et il piano nel quale è il triangolo FHX, sega l’uno, e l’altro; saranno le loro 14. dell’undecimocomuni settioni GO, et HK, fra loro equidistanti; e perciò, 2. e 4. del secon.come HF, alla FG, cosi sarà HX, alla GO; e perche nel triangolo HN, per l’istessa cagione, le GM, HN, sono equidistanti; sarà come HF, a FG, cosi HN, a GMː dunque come HX, à GO, cosi farà HN, à GMː 11. del Quinto cirol. e convertendo, e permutando insieme GO, à GM, come HX, alla HNː 4. del Quinto. ma la GM, si è fatta uguale à GO, e perciò la HX, sarà uguale alla KN. Dico ancora la HX, 16. del Quinto.essere perpendicolare alla KN. Perche il Meridiano ADB, passa per i poli dei paralleli, perciò li 14. del Quinto.divide per mezzo, et ad angoli rettiː ma il medesimo Meridiano è retto ancora all’Orizonte ABC; poichè passa per il Zenit, che è il suo Polo; dunque la CGA, comune settione de i due piani CDE, e BE, che sono retti 13. del Primo de sferici.al piano del Meridiano, sarà perpendicolare all’istesso piano ADB; e per questo l’Angolo EGO, retto, e si sono dimostrate le GE, HN, essere equidistanti ancora le GA, HX, dunque le due linee 14. de sferici. EG, GO, che si toccano, ne sono nel medemo piano; saranno gl’angoli che contengono EGO, NHX, fra loro uguali; ma l’angolo EGO, è rettoː dunque retto ancora sarà l’angolo NHX. In oltre, sia dal 19. del XI.punto F, fatta la FQ, perpendicolare alla DG, questa sarà perpendicolare ancora al piano del Meridiano, 10. del XI. essendo il Meridiano retto a i paralleli, e la DG, la loro comune settione; onde la FQ, verà ad’essere Dalla 28. del XI.equidistante alle CE, KN. Sia per i punti Q, et O, tirata la QOL, finche seghi la KL, in L; la segarà, perchè KL, è la comune settione del Meridiano, 9. del XI. e del piano dell’Horologio; e la QO, è nel piano di esso Meridiano, poi congiunto i punti X, L. Dico la XL, essere uguale alla HK 14. del VI., e perpendicolare alla KL.
15. del Pr.Perche essendo la linea FQ, parallelo alla KN, e gl’angoli 4. del VI. al vertice G, uguali; saranno i due triangoli FGQ, 16. del V. HGK, equiangoli, e perciò, come FG, à GQ, cosi HG, à GK, e permutando FG, à GH, come QG, à GX, e componendo, HF, à FG, come la QK, alla QG, e perche nel triangolo QLK, alla base KL, è parallela la GO, si come la medesima GO, 7. del V. è parallela ancora alla base HX, del triangolo FHX; 25. del XI. sarà QK, alla QG, come KL, alla GO; e come HF, à FG, cosi HX, alla medesima GO, dunque havendo le KL, et HX, alla GO, un’istessa proportione saranno fra loro uguali, e sono anco parallele per essere ciascuna d’esse parallela alla medesima GOː onde le HK, et LX, che le congiungono saranno altresi uguali e parallele, e la figura HKLX, un parallelogrammo; e per questo gl’angoli opposti KHX, XLK fra loro uguali; 33.del Pr. ma l’angolo KHX, è stato dimostrato retto, ciò è la XH, perpendicolare alla KN, 34. del Pr. dunque anco la XL, verà ad essere perpendicolare alla KLː che sono quelle cose che si erano proposte voler dimostrare.
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Confronto della regola con la
Dismostratione.
LEMMA:
Se nella sfera due cerchi maggiori toccaranno in punti opposti uno dei i pralleli, si segaranno fra loro nella circonferenza del massimo parallelo.
Descrivasi per il polo L, de i paralleli, e per il punto A, 20. del Pr. de i sferici di Theod. il cerchio maggiore AFCE, 15. del pr. de sferici Theo. ilquale perche divide per mezzo il cerchio AGA, passarà anco per il punto F, e passando 8. del seco de Spf.per il polo del cerchio AGE, passarà anco per il punto E, 15. del pr. de sfer.e passando per il polo del cerchio Age, e per i contatti AE, passarà etiandio per i poli de i cerchi ABCD, BEDF, è perciò i piani di questi due cerchi saranno retti al cerchio AFCE, e conseguentemente perpendicolare al piano d’esso, la BD, comune settione loro, la quale cade nel centro K, purche i cerchi maggiori 15. del pr. de sfer.si segano per mezzo, dunque nella BKD, e ne i punti BD, che sono nella superficie della sfera, saranno i poli 8. del pr. de sfer.del cerchio AFCE, e perciò le linee rette da i punti B, D, al punto L, saranno uguali, e ciascuna di esse il lato del quadrato inscritto nel cerchio maggiore: mà L, è polo de i paralleli, .jpg)
dunque il massimo parallelo passarà per B, et D, che è quello che bisognarà dimostrare.
Hor perche negl’Horologi all’Italiana, l’hore si numerano dall’occaso del Sole, il cerchio dell’Orizonte, e l’Horologio della vigesimaquarta Lemma anteceden. vengono ad’essere tutt’uno; mà l’Horario della duodecima tocca il massimo delli sempre apparenti in un punto opposto à quello, che lo tocca l’horario della vigesima quarta, dunque si segaranno insieme nella circonferenza del massimo parallelo, e perciò la commune settione dell’horario della duodicesima con l’orizonte, sarà una stessa linea, che quella dell’orizzonte, 16 del XI.con l’equinottiale, che è il massimo parallelo, alla quale, per l’equidistanza de i due piani dell’orizonte e dell’horologio, sono equidistanti la commune settione di detto piano dell’horologio, e dell’equinottiale, che è la linea equinottiale, 9 del XI. e quella del medesimo piano, e dell'horario della duodicesima, che è la linea delle dodici hore, e perciò sono anco frà loro equidistanti. Lemma anteceden.
E cosi perche l’horario della vigesimaterza, e quello dell’undecima toccano in punti oposti il massimo apparente, vengono à segarsi insieme nella circonferenza dell'equinottiale; ma la commune settione del cerchio horario delle ventitre nel piano dell’horologio, taglia la linea dell’equinottiale in un punto, nel quale la taglia ancora per l’istessa ragione l’orario dell’undicesima, e perciò questa sarà per diritto à detto punto della vigesima terza dell’equinottiale nell’horologio come si è detto; e cosi quella delle diece, per diritto al punto delle ventidue, le none à quello delle ventuna, e l’altre con l’istesso ordine, il che si era proposto voler dimostrare.
Scolio.
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si disegnerà un cerchio CDE, uguale à quello d’esso Tropico; la portione CDE, sarà uguale, e simile alla portione GFH, e la EFC, alla GKH. Innoltre, se alla circonferenza HL, si farà uguale la circonferenza ED, et i punti DL, si congiungeranno col punto V, la DVL, sarà una linea retta. Congiungasi per la dimostrazione i punti AG, AH, BC, BE, C dal centro B, sia fatta cadere la BM, perpendicolare alla CE, si come alla HG, è la AT. Perche dunque i due angoli ATV, AVT, del triangolo ATV, sono uguali alli due BMV, BVM, del triangogolo Elementi/Libro_primo/Propositione_26BVM, et il lato AV, al lato VB; saranno gl’altri lati AT, TV, uguali a gl’altri lati BM, et MV, e perche i cerchi sono frà loro uguali, e perciò anco le EC, et HG, uguali, e cosi parimente gl’angoli EBC, HAG, Elementi/Libro_terzo/Propositione_14 ma sono a i centri A, B, dunque le Elementi/Libro_primo/Propositione_2 porzioni EFC, OKH, sopra le quali consistono saranno frà loro simili, et uguali, e cosi ancora le rimanenti EKC, GFH, oltre a ciò, perche la EM, è uguale alla TH, e la TV, alla M, sarà la EV, uguale alla VH, et è la ED, uguale alla HL, per essere uguali le circonferenze ED, HL, e così per l’ugualità delle circonferenze DKC, LFG, uguali gl’angoli DEV, LHV, sopra lequali si fermano: dunque la base DV, del triangolo LHV, e l’angolo EVD, all’angolo HVL, a quali aggiunto l’angolo LVB, comune li due LVE, LVH, saranno uguali alli due DVE, EVL, ciò è due retti, la DVL dunque sarà una linea retta, che è quello che si voleva dimostrare.
All’altro servira' questo,
PROBLEMA.
Date due linee rette non paralleletrovare il punto ove si segano.
Iano le linee date AB, CD, e si habbia trovare il punto, ove si segano insieme, ò si segarebbano se fussero prolungate un qual si sia punto A, preso nella AB, à un qual si sia altro C, della CD, sia tirata la AC, la quale scende l’angolo maggiore; se dunque l’angolo BAC, sarà .jpg)
uguale all’angolo ECA, la linea dal punto F, che divide la AC, per mezzo, ad’angoli retti sovra essa; passarà etiandio per il punto E, del segamento delle AB, et CD, ciò è per il vertice del triangolo equivoce AEC , . . Ma se non saranno uguali costituiscasi nella AB, e nel punto dell’angolo maggiore per essempio A, l’angolo EAG, uguale all’angolo ECA, e l’escesso CAG, sia diviso per mezzo con la AH: sarà il triangolo AEH, equicrure; essendo l’angolo esteriore AHE, del triangolo ACH, uguale alli due interiori opposti ACH, ciò è EAG, et CAH, al quale è uguale GAH, daquali si compone l’angolo EAH, onde la perpendicolare, alla AH dal punto che la divide per mezzo passarà parimente per quello della loro intersecazione.
ALTRAMENTE.