Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.6

13.6 Applicazione: valore medio di una popolazione normale

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13.6 Applicazione: valore medio di una popolazione normale
13.5 A
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13.6 Applicazione: valore medio di una popolazione normale

Ancora un esempio: sia una popolazione normale dalla quale vengano ottenuti valori indipendenti , ma questa volta la varianza sia ignota; vogliamo discriminare, sulla base del campione, tra l’ipotesi nulla che il valore medio della popolazione abbia un valore prefissato e l’ipotesi alternativa complementare,

Il logaritmo della funzione di verosimiglianza è

(13.10)

ed essendo le stime di massima verosimiglianza date, come avevamo trovato nel paragrafo 11.5, da

e
ne deriva, sostituendo nella (13.10), che

.

D’altra parte, ammessa vera , abbiamo che

{{no rientro}e, derivando rispetto a ,

.

Annullando la derivata prima, si trova che l’unico estremante di si ha per

[p. 241 modifica]mentre la derivata seconda vale

e, calcolata per ,

per cui l’estremante è effettivamente un massimo. Sostituendo,

ed infine

tenendo conto dapprima del fatto che , e definendo poi una nuova variabile casuale

.

Un qualunque metodo per il rigetto di definito confrontando con un prefissato valore si traduce, in sostanza, in un corrispondente confronto da eseguire per :

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che porta alla

ed alla condizione

;

ovvero si rigetta l’ipotesi nulla se è maggiore di un certo (derivabile dall’equazione precedente), e la si accetta altrimenti.

Ma (vedi anche l’equazione (12.17)) segue la distribuzione di Student a gradi di libertà, e quindi accettare o rigettare sotto queste ipotesi si riduce ad un test relativo a quella distribuzione: come già si era concluso nel capitolo 12. Il livello di significanza è legato a dalla

(indicando con la funzione di frequenza di Student a gradi di libertà), tenendo conto che abbiamo a che fare con un two-tailed test ().

Insomma non c’è differenza, in questo caso, tra quanto esposto nel capitolo precedente e la teoria generale discussa in quello presente: nel senso che i due criteri di verifica dell’ipotesi portano per questo problema allo stesso metodo di decisione (ma, come abbiamo visto nel paragrafo precedente, non è sempre così).