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13.6 - Applicazione: valore medio di una popolazione normale

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mentre la derivata seconda vale

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \sigma ^{2}}}\,\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})={\frac {N}{\sigma ^{2}}}-{\frac {3}{\sigma ^{4}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}$

e, calcolata per $\sigma =\sigma _{0}$,

$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}(\ln {\mathcal {L}})}{\mathrm {d} \sigma ^{2}}}\right|_{\sigma =\sigma _{0}}\;=\;-{\frac {2N^{2}}{\sum _{i}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}}}\;<\;0$

per cui l’estremante è effettivamente un massimo. Sostituendo,

$\ln {\mathcal {L}}({\widehat {R}})\;=\;-{\frac {N}{2}}\ln \left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}\right]+{\frac {N}{2}}\,\ln N-{\frac {N}{2}}\,\ln(2\pi )-{\frac {N}{2}}$

$\ln \lambda \;=\;\ln {\mathcal {L}}({\widehat {R}})-\ln {\mathcal {L}}({\widehat {S}})\;=\;-{\frac {N}{2}}\left\{\ln \left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}\right]-\ln \left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right]\right\}$

ed infine

$\ln \lambda$	$=-{\frac {N}{2}}\,\ln \left[{\frac {\sum _{i}\left(x_{i}-\mu _{0}\right)^{2}}{\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}\right]$
	$=-{\frac {N}{2}}\,\ln \left[1+{\frac {N\left({\bar {x}}-\mu _{0}\right)^{2}}{\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}\right]$
	$=-{\frac {N}{2}}\,\ln \left(1+{\frac {t^{2}}{N-1}}\right)$

tenendo conto dapprima del fatto che $\sum _{i}(x_{i}-\mu _{0})^{2}=\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+N({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}$, e definendo poi una nuova variabile casuale

$t\;=\;\left({\bar {x}}-\mu _{0}\right){\sqrt {\frac {N(N-1)}{\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}}={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{\dfrac {s}{\sqrt {N}}}}$.

Un qualunque metodo per il rigetto di $H_{0}$ definito confrontando $\lambda$ con un prefissato valore $k$ si traduce, in sostanza, in un corrispondente confronto da eseguire per $t$:

${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;{\bigl \{}\ln \lambda <\ln k{\bigr \}}$