Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.5

13.5 Applicazione: ipotesi sulle probabilità

../13.4 ../13.6 IncludiIntestazione 2 settembre 2022 100% Da definire

13.4 13.6

[p. 238 modifica]

13.5 Applicazione: ipotesi sulle probabilità

Nel paragrafo 11.5 abbiamo preso in considerazione il caso di un evento casuale che si può manifestare in un numero finito di modalità, aventi ognuna probabilità incognita ; la stima di massima verosimiglianza delle è data dal rapporto tra la frequenza assoluta di ogni modalità, , ed il numero totale di prove, .

Vogliamo ora applicare il metodo del rapporto delle massime verosimiglianze per discriminare, sulla base di un campione di determinazioni indipendenti, l'ipotesi nulla che le probabilità abbiano valori noti a priori e l'ipotesi alternativa complementare, :

Ricordiamo che la funzione di verosimiglianza, a meno di un fattore moltiplicativo costante, è data da

[p. 239 modifica]

e che, essendo la stima di massima verosimiglianza data da

il massimo assoluto di è

.

Inoltre, nell'unico punto dello spazio dei parametri che corrisponde ad ,

per cui

dalla quale si può, come sappiamo, derivare una generica regione di rigetto attraverso la consueta .

è inoltre asintoticamente distribuita come il a gradi di libertà (c'è un vincolo: che le abbiano somma ), e questo può servire a scegliere un opportuno (nota la dimensione del campione) una volta fissata .

Il criterio di verifica dell'ipotesi dato in precedenza consisteva nel calcolo del valore della variabile casuale

e nel suo successivo confronto con la distribuzione del a gradi di libertà; lo studio del rapporto delle massime verosimiglianze porta dunque ad un criterio differente e, senza sapere nulla della probabilità di commettere errori di seconda specie, non è possibile dire quale dei due risulti migliore (a parità di significanza).