Teoria degli errori e fondamenti di statistica/12.4

by Maurizio Loreti

12.4 I piccoli campioni e la distribuzione di Student

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

12.4 I piccoli campioni e la distribuzione di Student

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12.4 I piccoli campioni e la distribuzione di Student

Cosa si può fare riguardo alla verifica di ipotesi statistiche come quella (considerata nel paragrafo precedente) della compatibilità del risultato delle misure con un valore noto a priori, quando si abbiano a disposizione solamente piccoli campioni? Ci riferiamo, più esattamente, a campioni costituiti da un numero di dati così esiguo da farci ritenere che non si possa ottenere da essi con ragionevole probabilità una buona stima delle varianze delle rispettive popolazioni (sempre però supposte normali).

Sia $X$ una variabile casuale distribuita come il $\chi ^{2}$ ad $N$ gradi di libertà, ed $u$ una seconda variabile casuale, indipendente dalla prima, e avente distribuzione normale standardizzata $N(u;0,1)$; consideriamo la nuova variabile casuale $t$ definita attraverso la

$t={\frac {u}{\sqrt {\dfrac {X}{N}}}}$.

(12.16)

Si può dimostrare che la funzione densità di probabilità relativa alla variabile casuale $t$ è data dalla

$f(t;N)={\frac {T_{N}}{\left(1+{\frac {t^{2}}{N}}\right)^{\frac {N+1}{2}}}}$

che si chiama distribuzione di Student ad N gradi di libertà.

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Figura 12e - La distribuzione di Student per $N=2$ ed $N=4$, confrontata con la funzione normale.

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Il coefficiente $T_{N}$ è una costante che viene fissata dalla condizione di normalizzazione; se $N$ viene poi fatto tendere all’infinito il denominatore della funzione (come si potrebbe facilmente provare partendo dal limite notevole (9.9)) tende a $e^{t^{2}/2}$, e dunque la distribuzione di Student tende alla distribuzione normale (con media 0 e varianza 1). Anche la forma della funzione di Student ricorda molto quella della funzione di Gauss, come appare evidente dalla figura 12e; soltanto, rispetto a dati che seguano la distribuzione normale, valori elevati dello scarto sono relativamente più probabili¹.

La distribuzione di Student è simmetrica, quindi tutti i momenti di ordine dispari (compreso il valore medio $\lambda _{1}$) sono nulli; mentre la varianza della distribuzione è

${\text{Var}}(t)={\frac {N}{N-2}}$

(se $N>2$); ed il coefficiente di curtosi vale

$\gamma _{2}={\frac {6}{N-4}}$

(se $N>4$).

Indicando con ${\bar {x}}$ la media aritmetica di un campione di dimensione $N$, estratto a caso da una popolazione normale avente valore medio $E(x)$ e varianza $\sigma ^{2}$; e con $s$ la stima della deviazione standard della popolazione ottenuta dal campione stesso, cioè

$s^{2}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{N-1}}$

sappiamo, ricordando l’equazione (12.8), che la variabile casuale

$X''=(N-1)\,{\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}$

è distribuita come il $\chi ^{2}$ ad $N-1$ gradi di libertà; inoltre, ovviamente,

$u={\frac {{\bar {x}}-E(x)}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {N}}}}$

segue la legge normale, con media 0 e varianza 1. Di conseguenza la variabile casuale

$t\;=\;{\frac {u}{\sqrt {\dfrac {X''}{N-1}}}}\;=\;{\frac {{\bar {x}}-E(x)}{\dfrac {s}{\sqrt {N}}}}$

(12.17)

segue la distribuzione di Student ad $N-1$ gradi di libertà.

Insomma: se i campioni a disposizione non hanno dimensioni accettabili, una volta calcolato lo scarto normalizzato relativo alla differenza tra la media di un campione ed un valore prefissato occorrerà confrontare il suo valore con i limiti degli intervalli di confidenza relativi alla distribuzione di Student e non alla distribuzione normale².

Note

1. Per valori di $N\gtrsim 35$ la distribuzione di Student si può approssimare con la distribuzione normale a media 0 e varianza 1.
2. Per taluni più usati valori del livello di confidenza, i limiti rilevanti si possono trovare tabulati anche nell’appendice G.