Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.5.1

by Maurizio Loreti

11.5.1 Stima di probabilità

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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11.5.1 Stima di probabilità

Supponiamo che un fenomeno casuale possa dare origine ad un numero finito $M$ di eventualità, ognuna delle quali sia associata ad un valore $p_{i}$ ignoto della probabilità; se, eseguite $N$ prove indipendenti, indichiamo con $n_{i}$ la frequenza assoluta con cui ognuna delle $M$ eventualità si è presentata nel corso di esse, quale è la stima di massima verosimiglianza, ${\widehat {p}}_{i}$, per le incognite probabilità $p_{i}$?

La funzione di verosimiglianza è, visto che la generica delle $M$ eventualità, di probabilità $p_{i}$, si è presentata $n_{i}$ volte, data¹ da

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {n}};{\boldsymbol {p}})=\prod _{i=1}^{M}{p_{i}}^{n_{i}}$

(in cui abbiamo indicato sinteticamente con due vettori, n e p, entrambi di dimensione $M$, l'insieme degli $M$ valori $n_{i}$ e quello degli $M$ valori $p_{i}$ rispettivamente); ed il suo logaritmo da

$\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {n}};{\boldsymbol {p}})=\sum _{i=1}^{M}n_{i}\,\ln p_{i}$.

(11.12)

Il problema della ricerca del massimo della (11.12) è complicato dal fatto che i valori delle $p_{i}$ non sono liberi, ma vincolati dalla condizione

$\sum _{i=1}^{M}p_{i}=1$.

(11.13)

Usiamo quindi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, costruendo la funzione

$f({\boldsymbol {n}};{\boldsymbol {p}})\;=\;\sum _{i=1}^{M}n_{i}\,\ln p_{i}-\lambda \left(\sum _{i=1}^{M}p_{i}-1\right)$

(11.14)

e risolvendo il sistema delle $M+1$ equazioni, nelle $M+1$ incognite $p_{i}$ e $\lambda$, composto dalla (11.13) e dalle altre $M$ ottenute derivando la (11.14) rispetto ad ognuna delle $p_{k}$:

${\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}\;=\;n_{k}\,{\frac {1}{p_{k}}}-\lambda \;=\;0$

$(k=1,2,\ldots ,M)$.

Da quest’ultima si ricava

${\widehat {p}}_{k}={\frac {n_{k}}{\lambda }}$

e, sostituendo nella (11.13),

$\sum _{i=1}^{M}{\widehat {p}}_{i}\;=\;{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{M}n_{i}\;=\;{\frac {N}{\lambda }}\;=\;1$

si ottiene

$\lambda =N$

per cui in definitiva la soluzione di massima verosimiglianza è (cosa non sorprendente) data dalle

${\widehat {p}}_{i}={\frac {n_{i}}{N}}$.

Note

1. A meno di un fattore moltiplicativo costante, corrispondente al numero di modi in cui $N$ oggetti si possono ripartire tra $M$ gruppi in modo che ogni gruppo sia composto da $n_{i}$ oggetti; numero delle partizioni ordinate (vedi in proposito il paragrafo A.7).