Ricerche di geometria analitica/02

by Eugenio Beltrami

Capitolo 2

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Eugenio Beltrami - Ricerche di geometria analitica (1879)

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§ 2.

Tornando alle equazioni (1) e (2) del § precedente, che somministrano il tipo generale della tangente variabile e del punto variabile d’una conica rispettivamente inscritta o circoscritta al triangolo fondamentale, noteremo le formole seguenti, in parte evidenti, in parte de dotte dal Lemma (I).

Rispetto al caso della conica inscritta, le coordinate della tangente variabile sono date da

$p:q:r={\frac {A}{\lambda -a}}:{\frac {B}{\lambda -b}}:{\frac {C}{\lambda -c}}$;

le coordinate del punto dal quale partono le due tangenti $\lambda '$ e $\lambda ''$ sono date da

$x:y:z$

$={\frac {(b-c)(a-\lambda ')(a-\lambda '')}{A}}:{\frac {(c-a)(b-\lambda ')(b-\lambda '')}{B}}:{\frac {(a-b)(c-\lambda ')(c-\lambda '')}{C}};$

e finalmente le coordinate del punto di contatto della conica colla tangente $\lambda$ sono date da

$x:y:z={\frac {(b-c)(\lambda -a)^{2}}{A}}:{\frac {(c-a)(\lambda -b)^{2}}{B}}:{\frac {(a-b)(\lambda -c)^{2}}{C}}.$

E se piacesse di considerare, più particolarmente, la conica individuata da due tangenti date $(p'q'r')$, $(p''q''r'')$, oltre le tangenti fisse $x=0$, $y=0$, $z=0$, basterebbe porre in queste formole (come risulta dal confronto delle equazioni (1) ed (1)' del § precedente)

$A:B:C=p'':q'':r''$,

$a={\frac {p''}{p'}}$,

$b={\frac {q''}{q'}}$,

$c={\frac {r''}{r'}}$.

Rispetto al caso della conica circoscritta, si hanno formole del tutto somiglianti per le coordinate del punto mobile, per le coordinate della retta che incontra la conica in due punti dati e per quelle della tangente in un punto dato: basta permutare le lettere x, y, z, $\lambda$ colle p, q, r, $\mu$.

Può giovare, in alcune delle molte ricerche ove si possono utilmente adoperare queste formole, di assumere tre tangenti arbitrarie della conica inscritta (o tre punti arbitrarii della conica circoscritta) come lati (o rispettivamente come vertici) d’un nuovo triangolo fondamentale. In tal caso importa conoscere le espressioni delle x, y, z (o delle p, q, r) in funzione delle tre tangenti (o dei tre punti), e ciò può farsi nel modo seguente.

Ponendo

$[\lambda ]=Ax(\lambda -b)(\lambda -c)+By(\lambda -c)(\lambda -a)+Cz(\lambda -a)(\lambda -b)$,

ed osservando che $[\lambda ]$ è una funzione intera di 2° grado in $\lambda$, si ha dal Lemma (III) l’identità

$\sum _{k=1}^{k=4}{\frac {[\lambda _{k}]}{f'(\lambda _{k})}}=0$,

dove

$f(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})(\lambda -\lambda _{3})(\lambda -\lambda _{4})$.

Questa è una relazione identica fra quattro tangenti arbitrarie, purchè distinte, di parametri $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, $\lambda _{3}$, $\lambda _{4}$, la quale permette di esprimere una tangente qualunque per mezzo di tre tangenti fissate ad arbitrio. Ora avendosi, in particolare,

	$[a]=(a-b)(a-c)Ax$,
	$[b]=(b-c)(b-a)By$,
	$[c]=(c-a)(c-b)Cz$,

è chiaro che, col mezzo della precedente relazione, si possono ottenere le espressioni di x, y, z in funzione di $[\lambda _{1}]$, $[\lambda _{2}]$, $[\lambda _{3}]$; basta fare successivamente $\lambda _{4}=a$, $\lambda _{4}=b$, $\lambda _{4}=c$.

In base allo stesso Lemma (III) si può ottenere una relazione fra m tangenti, per $m\geq 4$, dall’identità

$\sum _{k=1}^{k=m}{\frac {\psi (\lambda _{k})[\lambda _{k}]}{F'(\lambda _{k})}}=0$,

dove

$F(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})\dots (\lambda -\lambda _{m})$,

e $\psi (\lambda )$ è una funzione intera di $\lambda$, del grado $m-4$ al più, a coefficienti arbitrarii.

Per dare un esempio d’altre relazioni dello stesso genere, osserviamo che si ha pure l’identità

$\sum _{k=1}^{k=m}{\frac {\psi (\lambda _{k})[\lambda _{k}]^{2}}{F'(\lambda _{k})}}=0$,

dove $\psi (\lambda )$ è funzione intera di $\lambda$, del grado $m-6$ al più, a coefficienti arbitrarii. Il caso più semplice è fornito dall’ipotesi $m=6$, nella quale si può porre $\psi =1$. Se, in questa stessa ipotesi, si pone inoltre

$F(\lambda )=\Phi (\lambda )\psi (\lambda )$,

	$\Phi (\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})(\lambda -\lambda _{3}),$	$\psi (\lambda )=(\lambda -\lambda ')(\lambda -\lambda '')(\lambda -\lambda '''),$
	$H=(\lambda _{2}-\lambda _{3})(\lambda _{3}-\lambda _{1})(\lambda _{1}-\lambda _{2}),$	$K=(\lambda ''-\lambda ''')(\lambda '''-\lambda ')(\lambda '-\lambda ''),$

si ottiene

${\frac {1}{H}}\left\{{\frac {(\lambda _{2}-\lambda _{3})[\lambda _{1}]^{2}}{\psi (\lambda _{1})}}+{\frac {(\lambda _{3}-\lambda _{1})[\lambda _{2}]^{2}}{\psi (\lambda _{2})}}+{\frac {(\lambda _{1}-\lambda _{2})[\lambda _{3}]^{2}}{\psi (\lambda _{3})}}\right\}$

${\frac {1}{K}}\left\{{\frac {(\lambda _{'}'-\lambda _{'}'')[\lambda ']^{2}}{\Phi (\lambda )}}+{\frac {(\lambda _{'}''-\lambda ')[\lambda '']^{2}}{\Phi (\lambda '')}}+{\frac {(\lambda '-\lambda '')[\lambda ''']^{2}}{\Phi (\lambda ''')}}\right\}=0$.

Di quì risulta che le due equazioni seguenti:

${\frac {(\lambda _{2}-\lambda _{3})[\lambda _{1}]^{2}}{\psi (\lambda _{1})}}+{\frac {(\lambda _{3}-\lambda _{1})[\lambda _{2}]^{2}}{\psi (\lambda _{2})}}+{\frac {(\lambda _{1}-\lambda _{2})[\lambda _{3}]^{2}}{\psi (\lambda _{3})}}=0$,

${\frac {(\lambda ''-\lambda ''')[\lambda ']^{2}}{\psi (\lambda ')}}+{\frac {(\lambda '''-\lambda ')[\lambda '']^{2}}{\psi (\lambda '')}}+{\frac {(\lambda '-\lambda '')[\lambda ''']^{2}}{\psi (\lambda ''')}}=0$,

sono fra loro equivalenti. Quest’equivalenza è la traduzione algebrica del noto teorema che due triangoli circoscritti ad una stessa conica (nel nostro caso sarebbero i due triangoli $(\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3})$ e $(\lambda '\lambda ''\lambda ''')$) sono sempre conjugati rispetto ad una medesima altra conica. Questa ultima conica, indifferentemente rappresentata dalla prima o dalla seconda delle precedenti due equazioni, possiede poi la proprietà d’essere conjugata non solo coi due triangoli $(\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3})$ e $(\lambda '\lambda ''\lambda ''')$ ma con tutti quelli i cui lati sono le tangenti individuate dalle tre radici del l’equazione di 3° grado in $\lambda$

$\phi (\lambda )+k\psi (\lambda )=0$,

dove k è una costante arbitraria, ad ognuno dei cui valori corrisponde un triangolo particolare. Infatti è chiaro che le due equazioni precedenti restano inalterate sostituendo $\phi (\lambda )+k\psi (\lambda )$ a $\phi (\lambda )$ nella seconda equazione, oppure a $\psi (\lambda )$ nella prima.

Questo risultato fu da me stabilito, per una via meno semplice, nel già citato Articolo del 1871. Considerazioni in parte analoghe ri corrono nel bel libro del Sig. Darboux Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces (Paris, 1873). Di identità ricavate dal Lemma (III) fece uso più volte l’illustre Hesse, ma con fini assai diversi.

Tralasciamo per brevità di scrivere e d’interpretare le formole analoghe alle precedenti rispetto alla conica circoscritta, e notiamo invece che tutte le formole suddette, essendo fondate unicamente sul fatto che $[\lambda ]$ è funzione intera di 2° grado in $\lambda$, sono valide anche per altre forme dell’equazione della tangente variabile (o del punto variabile) d’una conica, anzi valgono per la forma generalissima accennata al principio del § precedente.

Nel § 8° avremo nuovamente occasione di considerare e utilizzare altre identità ricavate dal medesimo principio.