Ricerche di geometria analitica

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Eugenio Beltrami

1879

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ALLA CARA E VENERATA MEMORIA

DI

DOMENICO CHELINI

RICERCHE

DI

GEOMETRIA ANALITICA

DEL

Prof. Eugenio Beltrami

BOLOGNA

TIPI GAMBERINI E PARMEGGIANI

1879.

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Estratto dalla Serie III. Tomo X, delle Memorie dell’Accademia delle Scienze

dell’Istituto di Bologna. — Letto nella Sessione del 27 Febbraio 1879.

[p. 3 modifica]compianto

Dedico queste Ricerche alla memoria del mio

collega

ed amico Domenico Chelini , non perchè l' importanza degli argomenti trattati , o la novità dei metodi

e

merito

pari al

risultati , siano

dei

eminente di quell ' egregio Geometra, ma perchè esse mi pajon tali che a Lui, zelantissimo in escogitare e diffondere metodi agevoli ed intui scienze matematiche , sarebbero forse riuscite

tivi per lo studio delle

accette come contributo , modestissimo invero , al più facile una dottrina che gli era

cara, voglio

dire

studio

della Geometria

di

analitica .

Nè questa è la sola giustificazione ch' io possa addurre dell ' aver posto il nome rispettato del Chelini in fronte a corso

delle

presenti

Ricerche ho

avuto più

queste pagine . Nel occasione

volte

d' invo

care, con vantaggio di speditezza e di eleganza , un principio algebrico che accennerò fra un momento , e che

è

stato da

Lui per la prima

volta introdotto in Geometria analitica : dove adesso è usato da tutti , senza che la sua apparente naturalezza

tolga punto

di merito

a

chi

se ne seppe primamente giovare. Aggiungerò infine che alcune delle considerazioni svolte in questo scritto hanno stretta connessione con quelle del 1871

breve

articolo

(*) , del quale il Chelini ebbe già la benevolenza

d'occu

(*) Giornale di BATTAGLINI, t . IX, p. 341 .

d'un mio [p. 4 modifica]parsi nella sua Memoria Sopra alcuni punti notabili nella teoria ele mentare dei tetraedri e delle coniche (*) .

Il principio algebrico cui ho fatto allusione dianzi, e che fu dal Chelini adoperato in

una sua Memoria

del 1849 per

la

deduzione

delle formole relative alle coordinate ellittiche (**), sarebbe suscettibile d'essere formulato con una grande generalità . Ma, per non andar troppo lontano dal campo delle applicazioni che se ne debbono far quì, si può enunciarlo nei termini seguenti : Abbiasi un ' equazione della forma

X.8.(2) X, 8,(2) + + (2 — a₁)™ (2 — a¸) ™

•

dove X,, X. 21, ... • Xn ed a 19 a 21 • da 2 (le ultime n tutte

diverse

+

n (2) Xp m (2 — a ) "

P(2) ,

· a" sono quantità indipendenti

fra loro) , mè

positivo e P , P1 P21 . . . . Pmn sono funzioni porremo prime fra loro, e tali inoltre che per 2a . Posto

numero

un intere

intero e

di 2 , che

(2) non

sia

sup

divisibile

ƒ(2) = (2 —— a ¸) (λ — a…) .... . . . . ( 2 — a„) ,

e moltiplicata tutta l'equazione

per [ ƒ(2) } ", essa

non

conterrà più

che potenze intere di 2 e , se si designa con p la più alta di queste potenze e con 2 ,, 2.21 · • · · 2, le radici dell'equazione stessa, si avrà l'identità

k= n m f(2) k Σ x 9.@ ) [^ _ ^)] 4) [ƒ(2)] " ak " − q( k= 1

• (2 — 2,) = M F(2) ,

λ ) ·· = M (2 — 2 ,) (2 — 2¸)

dove Mè un fattore indipendente

da 2 e diverso

da zero .

Facendo

in quest' identità 2a,, si ottiene

X‚³‚(ª‚) [ ƒ' (a,) ] ™ == M F (a,) ,

(*) Memorie dell'Accademia di Bologna, T. V della Serie III ( 1874) . (**) Sull' uso sistematico dei principii relativi al metodo delle coordinate ret tilinee. Nella Raccolta scientifica di Roma (Agosto e Novembre 1849) . [p. 5 modifica]donde

་ “ར

X ,: X₂: ·

(I)

· •

F(a )

(a ) F

m P₁ (a )[ƒ' (a )]™

P (a¸ [ ƒ' (a )] ™

F(a ) n(a ) [ƒ' (a ) ]™

Il principio, o lemma algebrico, del quale si tratta consiste semplice mente nel passaggio dalla primitiva formole. La necessità di tale

equazione in 2 a queste

passaggio si presenta

molto

ultime

spesso

nel

corso delle seguenti Ricerche . Occorrerà eziandio ricorrere sovente alla nota formola per lo spez zamento delle frazioni razionali (nel caso più semplice delle radici tutte diseguali)

ル p(a )

P(2)

"

(II)

f(2)

dove ƒ(2) è

la

stessa

) f’(a ) h = 1 (2a

funzione

di

pocanzi e P(2)

è

na

funzione

intera del grado n - 1 al più . E parimenti occorrerà ricordare spes sissimo quest’altra formola nota, conseguenza

della precedente

( anzi

non diversa sostanzialmente da essa)

k= n Y(a₂)

=

(III)

0 ",

Σ ƒ’ (a„) k= 1

dove

(2) è una funzione intera di 2 del grado n — 2 al più . Am

bedue queste formole potrebbero essere Lemma (I):

ricavate, come

corollarii, dal

na esse sono così generalmente note che sarebbe inutile,

od almen fuori di luogo, il far quì una digressione in proposito . Quanto all’indole ed allo scopo delle

presenti

Ricerche, facili

e

piane tanto per l’argomento quanto pei metodi, dirò ch’esse s’aggirano principalmente sulle linee razionali, piane e gobbe, e sono fondate quasi interamente sull’uso di certe forme d’equazioni, locali o

tangenziali,

assunte a rappresentare l’elemento variabile che si considera come ge neratore della linea stessa . I primi cinque §§ sono relativi alla teoria delle coniche . I §§ 6 ° e 7° mostrano la possibilità e la convenienza, di trattare, con analoghi procedimenti, le curve piane

razionali d’or [p. 6 modifica]dine o classe qualunque. Il § 8° tratta delle

curve piane

generali

di

3° ordine, e mostra che le formole quì adoperate, benchè più special mente idonee allo studio dei luoghi razionali, possono nondimeno recare vantaggio anche nella teoria generale delle curve . I §§ 9° e 10° sono consacrati alle cubiche gobbe . Il § 11 ° tratta

delle

curve gobbe

ra

zionali in genere, con più particolare riguardo alla linea di 4 ° ordine e di 2ª specie . Il § 12 ° ed ultimo tratta come saggio d’applicazione dei metodi

della

superficie di

adoperati

STEiner,

nei §§ precedenti

a

luoghi geometrici generati da un elemento doppiamente variabile . Il principio di dualità è perfettamente applicabile in

ogni parte

di queste Ricerche; talchè, meno qualche esempio datone in casi sem plici, ho quasi sempre ommesso di svolgere i due

. aspetti di ciascuna

questione, per non ripetere inutilmente parole e formole.

Mio unico scopo, nel redigere questo sistema di equazioni e di

lavoro, fu

procedimenti, fondato

sulla

di

esporre

un

più elementare

analisi algebrica, ma non indegno d’attenzione, a quanto mi pare, per la molteplicità degli usi e, direi quasi, per la non comune sua flessi bilità . Certo non mancano esempii già ’ noti di procedimenti siffatti: io stesso ne ho svolto uno fin dal 1868, attingendolo nella teoria delle cubiche gobbe (* ) . Ma forse non è

stato

ancora

esplicitamente osser

vato che il campo della loro applicazione è molto più vasto di quello che sembri

prima giunta. Sarei ben lieto se qualche giovane geo

a

metra riuscisse, abbia saputo

con nuove

applicazioni, a mostrare, meglio che

far io, l’utilità dei

metodi

che ora procedo

non

senz’altro

ad esporre.

§ 1.

In ciò che segue denoteremo con x, y, z le coordinate omogenee d’un punto in un piano, e con p, q,

le coordinate omogenee d’una

retta nello stesso piano, le une e le altre vincolate fra loro dall’equa zione

px + qy + 12 = 0

quando il punto (xyz) giace nella retta (pqr) .

( ) Atti del R. Istituto Lombardo. [p. 7 modifica]Prendiamo ora l’equazione

x P¸ (2) + y P₂( 2 ) + ≈ P¸ ( 2 ) = 0,

2 e P,3 sono tre funzioni intere e di 2° grado rispetto al dove P,, P. parametro

equazione che rappresenta, com’è notissimo, la tangente

variabile d’una conica . Questa conica è del

tutto arbitraria

lasciano indeterminati i coefficienti delle funzioni

finchè

. Se si vuole

si che

essa riesca tangente alle tre rette .

0,

bisogna che le tre funzioni

% = 0,

y = 0,

sien tali che un

nulli simultaneamente P.2 e P., che un simultaneamente taneamente

3 e

certo valore di λ an

secondo valore di 2 annulli

, e che un terzo

valore

di λ annulli

simul

, e P. Quando ciò ha luogo, l’equazione della tangente

variabile può porsi manifestamente sotto la forma

By

Ax

Cz

+

(1 )

dove le A, B,

=: 0, λ—————— с

2.31 し

- a λ—

C, a, b, c sono costanti (di cui due soltanto sono ve

ramente essenziali) . È bene notare subito che quando l’inviluppo è una vera conica, le costanti A, B, C sono tutte diverse da zero, e le co stanti a, b, c sono tutte diverse fra loro . La precedente equazione, mutando la designazione

delle costanti,

può scriversi anche così:

’z

q’q’y

p’px

+

(1)’ p’λ + p

qλ + q"

,, "’ λ + " ’

e rappresenta, evidentemente, la tangente variabile

della

conica

viduata dalle cinque tangenti

x = 0,

p’x + q’y + r’z = 0,

y = 0,

2

0,

p x + qy + l’’ ’ 2 = 0;