Ricerche di geometria analitica/01

by Eugenio Beltrami

Capitolo 1

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Eugenio Beltrami - Ricerche di geometria analitica (1879)

Capitolo 1

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Introduzione

02

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§ 1.

In ciò che segue denoteremo con x, y, z le coordinate omogenee d’un punto in un piano, e con p, q, r le coordinate omogenee d’una retta nello stesso piano, le une e le altre vincolate fra loro dall’equazione

$px+qy+rz=0$

quando il punto (xyz) giace nella retta (pqr).

Prendiamo ora l’equazione

$x\Phi _{1}(\lambda )+y\Phi _{2}(\lambda )+z\Phi _{3}(\lambda )=0$,

dove $\Phi _{1}$, $\Phi _{2}$ e $\Phi _{3}$ sono tre funzioni intere e di 2° grado rispetto al parametro $\lambda$: equazione che rappresenta, com’è notissimo, la tangente variabile d’una conica. Questa conica è del tutto arbitraria finchè si lasciano indeterminati i coefficienti delle funzioni $\Phi$. Se si vuole che essa riesca tangente alle tre rette

$x=0$,

$y=0$,

$y=0$,

bisogna che le tre funzioni $\Phi$ sien tali che un certo valore di $\lambda$ annulli simultaneamente $\Phi _{2}$ e $\Phi _{3}$, che un secondo valore di $\lambda$ annulli simultaneamente $\Phi _{3}$ e $\Phi _{1}$ e e che un terzo valore di $\lambda$ annulli simultaneamente $\Phi _{1}$ e $\Phi _{2}$. Quando ciò ha luogo, l’equazione della tangente variabile può porsi manifestamente sotto la forma

(1)	${\frac {Ax}{\lambda -a}}+{\frac {By}{\lambda -b}}+{\frac {Cz}{\lambda -c}}=0$,

dove le A, B, C, a, b, c sono costanti (di cui due soltanto sono veramente essenziali) . È bene notare subito che quando l’inviluppo è una vera conica, le costanti A, B, C sono tutte diverse da zero, e le costanti a, b, c sono tutte diverse fra loro.

La precedente equazione, mutando la designazione delle costanti, può scriversi anche così:

(1)'	${\frac {p'p''x}{p'\lambda +p''}}+{\frac {q'q''y}{q'\lambda +q''}}+{\frac {r'r''z}{r'\lambda +r''}}=0$

e rappresenta, evidentemente, la tangente variabile della conica individuata dalle cinque tangenti

$x=0$,

$y=0$,

$z=0$,

$p'x+q'y+r'z=0$,

$p''x+q''y+r''z=0$;

infatti queste cinque tangenti particolari risultano dall’unica equazione (1)' dando rispettivamente al parametro $\lambda$ i valori

$\lambda =-{\frac {p''}{p'}}$,

$\lambda =-{\frac {q''}{q'}}$,

$\lambda =-{\frac {r''}{r'}}$,

$\lambda =0$,

$\lambda =\infty$.

Le coordinate p, q, r d’una sesta tangente qualunque sono dunque date dalle formole

$p:q:r={\frac {p'p''}{\lambda -a}}:{\frac {q'q''}{\lambda -b}}:{\frac {r'r''}{\lambda -c}},$

dalle quali risulta che, per un opportuno valore di $\mu$, sussistono sempre tre relazioni della forma

${\frac {\mu }{p}}+{\frac {1}{p'}}+{\frac {\lambda }{p''}}=0$,

${\frac {\mu }{q}}+{\frac {1}{q'}}+{\frac {\lambda }{q''}}=0$,

${\frac {\mu }{r}}+{\frac {1}{r'}}+{\frac {\lambda }{r''}}=0$.

Si può dunque enunciare questo corollario: Affinchè le sei rette

	$x=0$,	$px+qy+rz=0$,
	$y=0$,	$p'x+q'y+r'z=0$,
	$z=0$,	$p''x+q''y+r''z=0$,

sieno tangenti ad una sola e medesima conica è necessario e sufficiente che sia soddisfatta la condizione

${\begin{vmatrix}{\frac {1}{p}}&{\frac {1}{q}}&{\frac {1}{r}}\\{\frac {1}{p'}}&{\frac {1}{q'}}&{\frac {1}{r'}}\\{\frac {1}{p''}}&{\frac {1}{q''}}&{\frac {1}{r''}}\end{vmatrix}}=0$.

Si può affermare a priori che quest’equazione non è altro che una traduzione algebrica del teorema di Brianchon. Ma vediamolo direttamente.

Moltiplicando la prima colonna del determinante per $p'p''$, la seconda per $q''q$, la terza per $r'r$; poscia la prima linea per p, la seconda per $q'$, la terza per $r''$, la precedente relazione diventa

${\begin{vmatrix}p'p''&pq''&r'p\\p''q'&q''q&q'r\\r''p'&qr''&rr'\end{vmatrix}}=0$

ed esprime che le tre rette

$p'p''x+p''q'y+r''p'z=0$,

$pq''x+q''qy+qr''z=0$,

$r'px+q'ry+rr'z=0$.

si segano in un solo e medesimo punto. Ora ciascuna di queste equazioni può scriversi in doppia guisa, così:

${\begin{cases}(p'x+q'y+r'z)p''-(r'p''-r''p')z=0,\\(p''x+q''y+r''z)p'-(p'q''-p''q')y=0;\end{cases}}$

${\begin{cases}(p''x+q''y+r''z)q-(p''q-pq'')x=0,\\(px+qy+rz)q''-(q''r-qr'')z=0;\end{cases}}$

${\begin{cases}(px+qy+rz)r'-(qr'-q'r)y=0,\\(p'x+q'y+r'z)r-(rp'-r'p)x=0;\end{cases}}$

e, da questa doppia forma dell’equazione di ciascuna di quelle tre rette, segue immediatamente ch’esse sono le congiungenti dei vertici opposti dell’esagono formato dalle sei tangenti anzidette, prese nell’ordine seguente:

$x=0$,

$p''x+q''y+r''z=0$,

$y=0$,

$px+qy+rz=0$,

$z=0$,

$p'x+q'y+r'z=0$.

Si possono del resto facilmente modificare le operazioni fatte sul determinante, in guisa da pervenire ad esagoni formati colle tangenti stesse, ordinate in qualunque altro modo.

Ma, indipendentemente da questa verificazione, si vedrà meglio, fra un momento, la ragione della forma sotto cui ci si è presentato il teorema in discorso.

Ripetendo le considerazioni fatte al principio di questo §, colla sostituzione di punto a retta e viceversa, si trova che l’equazione del punto variabile d’una conica circoscritta al triangolo

$p=0$,

$q=0$,

$r=0$

può sempre essere posta sotto la forma

(2)	${\frac {Ap}{\mu -a}}+{\frac {Bq}{\mu -b}}+{\frac {Cr}{\mu -c}}=0$,

dove $\mu$ è il parametro variabile; che per la conica determinata dai cinque punti

$p=0$,

$q=0$,

$r=0$,

$px'+qy'+rz'=0$,

$px''+qy''+rz''=0$

l’equazione del punto variabile è

(2)'	${\frac {px'x''}{\mu x'+x''}}+{\frac {qy'y''}{\mu y'+y''}}+{\frac {rz'z''}{\mu z'+z''}}$,

talchè le coordinate x, y, z di questo punto sono dalle formole

$x:y:z={\frac {x'x''}{\mu x'+x''}}:{\frac {y'y''}{\mu y'+y''}}:{\frac {z'z''}{\mu z'+z''}}$;

e finalmente che la condizione necessaria e sufficiente affinchè i sei punti

	$p=0$,	$px+qy+rz=0$,
	$q=0$,	$px'+qy'+rz'=0$,
	$r=0$,	$px''+qy''+rz''=0$,

sieno in una stessa conica è

${\begin{vmatrix}{\frac {1}{x}}&{\frac {1}{y}}&{\frac {1}{z}}\\{\frac {1}{x'}}&{\frac {1}{y'}}&{\frac {1}{z'}}\\{\frac {1}{x''}}&{\frac {1}{y''}}&{\frac {1}{z''}}\end{vmatrix}}=0$.

Che quest’equazione¹ sia una traduzione algebrica del teorema di Pascal è manifesto a priori, e si può d’altronde dimostrare col metodo tenuto precedentemente per quello di Brianchon. Ma quì la cosa riesce ancor più chiara se si rammenta che, istituendo fra due punti variabili $(xyz)$, $(\xi \eta \zeta )$ le relazioni

$\xi x=\eta y=\zeta z$,

cioè operando una trasformazione steineriana o quadratica, ad ogni retta corrisponde una conica passante pei punti fondamentali, e reciprocamente. Ora l’equazione precedente esprime che i punti corrispondenti, in una tale trasformazione, ai tre $(xyz)$, $(x'y'z')$, $(x''y''z'')$ sono situati in linea retta: dunque i suddetti punti $(xyz)$, $(x'y'z')$, $(x''y''z'')$ ed i tre vertici del triangolo fondamentale sono in una stessa conica.

L’equazione in cui si traduce il teorema di Brianchon può analogamente dedursi da una trasformazione steineriana tangenziale, cioè operata fra coordinate di rette.

Note

1. Ponendo mente a quest’equazione si può, molto agevolmente, risolvere la questione posta, ma non risoluta, alla fine delle mie Considerazioni analitiche sopra una proposizione di Steiner (Mem. dell’Acc. di Bologna, 1877) . La condizione $\nabla =0$ esprime che i poli delle rette fondamentali, rispetto alla conica assoluta, sono in una conica circoscritta al triangolo fondamentale.