Ricerche di geometria analitica/04

by Eugenio Beltrami

Capitolo 4

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Eugenio Beltrami - Ricerche di geometria analitica (1879)

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§ 4.

Passiamo a forme più generali dell’equazione d’una tangente variabile (o d’un punto variabile), restando ancora, per adesso, nella supposizione che l’inviluppo (od il luogo) debba essere una conica.

Sieno

(1)

$u_{0}=0$,

$u_{1}=1,\ldots u_{n}=0$

le equazioni di $n+1$ rette del piano $(n>2),u_{0},u_{1},\ldots u_{n}$ essendo $n+1$ funzioni lineari delie primitive coordinate x, y, z, della forma

(2)

$u_{k}=p_{k}x+q_{k}y+r_{k}z$

$k=0,1,2,\ldots n$.

L’equazione

(3)	${\frac {A_{0}u_{0}}{\lambda -a_{0}}}+{\frac {A_{1}u_{1}}{\lambda -a_{1}}}+\ldots {\frac {A_{n}u_{n}}{\lambda -a_{n}}}=0$,

o, come potremo scrivere per maggior brevità,

(3)	$\sum {\frac {Au}{\lambda -a}}=0$,

nella quale le A sono $n+1$ costanti tutte diverse da zero e le a sono altre $n+1$ costanti tutte diverse fra loro, rappresenta una retta la quale, al variare di $\lambda$, inviluppa in generale una linea della classe n. Fra le tangenti di questa linea vi sono le $n+1$ rette fondamentali (1), che corrispondono ai valori $a_{0},a_{1},\ldots a_{n}$ del parametro $\lambda$. Ma se, designando con $\lambda ',\lambda '',\ldots$ valori particolari (fissi) di $\lambda$, si stabiliscono fra le $n+1$ funzioni lineari le seguenti relazioni identiche

$\sum {\frac {Au}{\lambda '-a}}=0$

$\sum {\frac {Au}{\lambda ''-a}}=0,\ldots$,

la classe dell’inviluppo scema evidentemente di tante unità quante sono le relazioni identiche di tal natura che si stabiliscono, talchè, se il numero di queste relazioni raggiunge il suo massimo valore, che è $n-2$, la classe discende da n a 2. Dunque l'equazione (3) rappresenta ancora la tangente variabile d'una conica, qualunque sia il numero $n(>2)$, perchè fra le $n+1$ funzioni lineari u si stabiliscano $n-2$ relazioni identiche della forma seguente:

(4)

$\sum {\frac {Au}{\lambda '-a}}=0$,

$\sum {\frac {Au}{\lambda ''-a}}=0$,

$\ldots$

$\sum {\frac {Au}{\lambda ^{(n-2)}-a}}=0$,

dove $\lambda ',\lambda '',\ldots \lambda ^{(n-2)}$ sono $n-2$ valori individuati e distinti del parametro $\lambda$. Questi valori speciali di $\lambda$ non corrispondono, giova ben notarlo, ad alcuna retta della famiglia (3).

Se nelle $n-2$ relazioni (4) si sostituisce a ciascuna u la sua espressione (2) in funzione delle primitive coordinate, e si annullano separatamente i coefficienti di queste, si ottengono $3n-6$ equazioni fra le costanti $A_{k}$, $a_{k}$, $\lambda ^{(i)}$ e le coordinate $p_{k}$, $q_{k}$, $r_{k}$ delle $n+1$ rette (1). Ma delle $2(n+1)$ quantità $A_{k}$, $a_{k}$ se ne possono fissare arbitrariamente 4, perchè una delle $A_{k}$ può essere presa a piacimento, e con una trasformazione di parametro della forma

$\lambda ={\frac {e\mu +f}{g\mu +h}}$

si può conferire un valore arbitrario a 3 delle quantità medesime $A_{k}$ ed $a_{k}$. Dunque nelle dette $3n-6$ equazioni entrano soltanto $2n-2$ costanti arbitrarie essenziali, dipendenti dalla forma (3) che si vuol dare all’equazione della tangente variabile. Eliminando queste $2n-2$ arbitrarie, restano $n-4$ relazioni fra le coordinate delle $n+1$ rette (1) e le quantità fisse $\lambda ^{(i)}$, epperò cinque sole rette sono arbitrarie: ogni nuova retta dà luogo ad una condizione, come naturalmente dev’essere. Soddisfatte poi le $n-4$ condizioni così trovate, le quantità $A_{k}$ ed $a_{k}$ restano determinate, tranne nel caso di $n=3$, nel quale esse restano parzialmente indeterminate.

A proposito di questo caso eccezionale giova entrare in qualche dilucidazione, per rimuovere un apparente paradosso cui esso dà luogo. Abbiasi dunque l’equazione

(5)	${\frac {A_{0}u_{0}}{\lambda -a_{0}}}+{\frac {A_{1}u_{1}}{\lambda -a_{1}}}+{\frac {A_{2}u_{2}}{\lambda -a_{2}}}+{\frac {A_{3}u_{3}}{\lambda -a_{3}}}=0$,

accompagnata dalla relazione identica

(5)’	${\frac {A_{0}u_{0}}{\lambda '-a_{0}}}+{\frac {A_{1}u_{1}}{\lambda '-a_{1}}}+{\frac {A_{2}u_{2}}{\lambda '-a_{2}}}+{\frac {A_{3}u_{3}}{\lambda '-a_{3}}}=0$,

nella quale $\lambda '$ rappresenta un valore particolare (fisso) di $\lambda$. Se le quattro funzioni lineari $u_{0},u_{1},u_{2},u_{3}$ sono date, come supponiamo, la relazione identica che ha luogo fra esse è pure determinata. Rappresentando dunque tale relazione con

$c_{0}u_{0}+c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}=0$,

dove le $c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}$ sono costanti determinate, devono sussistere le equazioni

(6)

${\frac {A_{0}}{\lambda '-a_{0}}}=\rho c_{0},$

${\frac {A_{1}}{\lambda '-a_{1}}}=\rho c_{1},$

${\frac {A_{2}}{\lambda '-a_{2}}}=\rho c_{2},$

${\frac {A_{3}}{\lambda '-a_{3}}}=\rho c_{3},$

dove $\rho$ è un fattore indeterminato. Queste equazioni stabiliscono quattro relazioni necessarie fra le 10 quantità

$A_{0},A_{1},A_{2},A_{3};\;a_{1},a_{2},a_{3};\;\lambda ',\rho ;$

ma, stante l’arbitrio ch’esse lasciano ancor sussistere rispetto a 6 di queste, non si capisce a prima giunta come la conica inviluppata dalla retta variabile (5) possa dipendere da un solo parametro essenziale, possa cioè appartenere soltanto alla schiera semplicemente infinita delle coniche inscritte nel quadrilatero

(7)

$u_{0}=0,$

$u_{1}=0,$

$u_{2}=0,$

$u_{3}=0.$

Per ispiegare questo fatto eliminiamo $u_{0}$ fra le due equazioni (5) e (5)’. L’equazione risultante, divisa per $\lambda -\lambda '$, è, in virtù delle formole (6),

${\frac {c_{1}(a_{1}-a_{0})u_{1}}{\lambda -a_{1}}}+{\frac {c_{2}(a_{2}-a_{0})u_{2}}{\lambda -a_{2}}}+{\frac {c_{3}(a_{3}-a_{0})u_{3}}{\lambda -a_{3}}}=0$.

Se del primo membro di quest’equazione, liberato dai denominatori e considerato come funzione di 2° grado rispetto a $\lambda$, si forma il discriminante e si annulla, si trova un’equazione che è riducibile alla forma seguente:

${\sqrt {c_{1}(a_{1}-a_{0})(a_{2}-a_{3})}}+{\sqrt {c_{2}(a_{2}-a_{0})(a_{2}-a_{1})}}$$=0$

${\sqrt {c_{1}(a_{1}-a_{0})(a_{2}-a_{3})}}$$+{\sqrt {c_{3}(a_{3}-a_{0})(a_{1}-a_{2})}}=0$

e che è l’equazione della conica inviluppo. Ora qualunque sieno le quantità $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, si ha sempre l’identità

$(a_{1}-a_{0})(a_{2}-a_{3})+(a_{2}-a_{0})(a_{3}-a_{1})+(a_{3}-a_{0})(a_{1}-a_{2})=0$.

dunque l’equazione precedente contiene effettivamente un solo parametro essenziale, che potrebb’essere, per esempio, la quantità

${\frac {(a_{2}-a_{0})(a_{1}-a_{3})}{(a_{3}-a_{0})(a_{1}-a_{2})}}=(a_{0}a_{1}a_{2}a_{3})$,

la quale non è altro che il rapporto anarmonico delle quattro tangenti fisse (7), considerate come appartenenti al fascio delle tangenti della conica variabile inscritta nel quadrilatero da esso formato.

Tutte le considerazioni che precedono possono ripetersi, parola per parola, sostituendo punto a retta e funzione lineare di coordinate tangenziali a funzione lineare di coordinate locali.