Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/373

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

359

punti, il cui numero è ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-np$ $+{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}-1$ $={\tfrac {(n-p)(n-p+3)}{2}}$, determinerebbero (34) una curva d’ordine $n-p$, la quale insieme colla data curva d’ordine $p$ costituirebbe un luogo d’ordine $n$ passante per tutt’i punti dati. Dunque il massimo numero di punti che si possono prendere ad arbitrio sopra una curva d’ordine $p$, all’intento di descrivere per essi una curva semplice d'ordine $n>p$, è $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$¹.

43. Siano date due curve, l’una d’ordine $p$, l’altra d’ordine $q$, e sia $p+q=n$. Se nel luogo d’ordine $n$, formato da queste due curve, si prendono ad arbitrio ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti, per essi passeranno infinite curve d’ordine $n$, le quali avranno in comune altre ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ intersezioni (41)⁵², distribuite sulle due curve date. Nell’assumere ad arbitrio quegli ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti, se ne prendano $np-g$ sulla curva d’ordine $p$ ed $nq-h$ sulla curva d’ordine $q$, ove $g,\,h$ sono due numeri (interi e positivi) soggetti alla condizione:

1)	$g+h={\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$.

Inoltre, affinchè le due curve siano determinate dai punti presi in esse, dovrà essere:

$np-g\geq {\frac {p(p+3)}{2}},\quad nq-h\geq {\frac {q(q+3)}{2}}$,

da cui:

$g\leq {\frac {p(p-3)}{2}}+pq,\quad h\leq {\frac {q(q-3)}{2}}+pq$.

Se in queste due relazioni poniamo per $g$ e per $h$ i valori dati dalla 1), abbiamo:

$h\geq {\frac {(q-1)(q-2)}{2}},\quad g\geq {\frac {(p-1)(p-2)}{2}}$.

Così sono fissati i limiti entro i quali devono essere compresi $g,\,h$. Possiamo dire che $g$ è compreso fra il limite minimo ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ ed il limite massimo

---

1. Jacobi, De relationibus, quæ locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvarum etc. (Giornale di Crelle, t 15, Berlino 1836, p. 292)