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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}+p(n-p)-1$; e che $h$ è dato, mediante $g$, dalla 1). Abbiamo così il teorema¹:

Tutte le curve d’ordine $n=p+q$⁵³, descritte per $np-g$ punti dati di una curva d’ordine $p$ e per $nq-h$ punti dati di una curva d’ordine $q$, segano la prima curva in altri $g$ punti fissi e la seconda curva in altri $h$ punti fissi.

(a) Da questo teorema segue immediatamente:

Affinchè per le $n^{2}$ intersezioni di due curve d’ordine $n$ passi il sistema di due curve d’ordini $p,\,n-p$, è necessario e sufficiente che di queste intersezioni $np-g$ appartengano alla curva d’ordine $p$, ed $n(n-p)-h$ appartengano alla curva d’ordine $n-p$.

(b) Quando il numero $g$ ha il suo minimo valore, il teorema suenunciato può esprimersi così:

Ogni curva d’ordine $n$, descritta per $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ punti dati di una curva d’ordine $p<n$, incontra questa in altri ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ punti fissi.

Ovvero:

Se delle $n^{2}$ intersezioni di due curve d’ordine $n$, $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ giacciono in una curva d’ordine $p<n$, questa ne conterrà altre ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$, e le rimanenti $n(n-p)$ saranno in una curva d’ordine $n-p$.

Del resto, questi teoremi sono compresi nel seguente più generale.

44. Date due curve, l’una ${\rm {C_{n}}}$ d’ordine $n$, l’altra ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m<n$, se delle loro intersezioni ve ne sono $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ situate sopra una curva ${\rm {C_{p}}}$ d’ordine $p<n$, questa curva ne conterrà altre ${\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$; e le rimanenti $m(n-p)$ saranno sopra una curva d'ordine $n-p$.⁵⁴

Infatti: fra le $(n-m)p$ intersezioni delle curve ${\rm {C_{p},\,C_{n}}}$ non comuni a ${\rm {C_{m}}}$, se ne prendano ${\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}$ e per esse si descriva una curva ${\rm {C_{n-m}}}$ d’ordine $n-m$. Avremo così due luoghi d’ordine $n$: l’uno è ${\rm {C_{n}}}$, l’altro è ${\rm {C_{m}+C_{n-m}}}$. La curva ${\rm {C_{p}}}$ contiene $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$$+{\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}$$=np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ intersezioni de’ due luoghi, dunque (43, b) ne conterrà altre

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1. Plücker, Theorie der algeb. Curven, p. 11.