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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$; cioè ${\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ comuni a ${\rm {C_{n}}}$, ${\rm {C_{m}}}$, e $(n-m)p-{\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}$ comuni a ${\rm {C_{n}}}$, ${\rm {C_{n-m}}}$; e tutte le rimanenti saranno in una curva d’ordine $n-p$.

Da questo teorema segue che gli $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ punti dati comuni alle curve ${\rm {C_{n},\,C_{m},\,C_{p}}}$ individuano altri ${\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ punti comuni alle curve medesime. Tutti questi punti sono pienamente determinati dalle curve ${\rm {C_{m}}}$, ${\rm {C_{p}}}$, indipendentemente da ${\rm {C_{n}}}$; dunque:

Qualunque curva d’ordine $n$ descritta per $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ intersezioni di due curve d’ordini $m,\,p$ ($m,\,p$ non maggiori di $n$) passa anche per tutti gli altri punti comuni a queste curve¹.⁵⁵

45. I teoremi or ora dimostrati sono della più alta importanza, a cagione del loro frequente uso nella teoria delle curve. Qui mi limiterò ad accennare qualche esempio interessante.

(a). Una curva d’ordine $n$ sia segata da una trasversale ne’ punti $a,\,b,\,\dots$ e da una seconda trasversale ne’ punti $a',\,b',\dots$. Considerando il sistema delle $n$ rette $aa',\,bb',\dots$ come un luogo d’ordine $n$, le rimanenti intersezioni di esse colla curva data saranno (43, b) in una curva d’ordine $n-2$. Supponiamo ora che $a',\,b',\dots$ coincidano rispettivamente con $a,\,b,\dots$; avremo il teorema:

Se ne’ punti, in cui una curva d’ordine $n$ è segata da una retta, si conducono le tangenti alla curva, esse incontrano la curva medesima in altri $n(n-2)$ punti, situati sopra una curva d’ordine $n-2$².

(b) Analogamente si dimostra il teorema generale:

Se ne’ punti, in cui una curva d’ordine $n$ è segata da un’altra curva d’ordine $n'$, si conducono le tangenti alla prima curva, esse la segheranno in altri $nn'(n-2)$ punti, tutti situati in una curva dell’ordine $n'(n-2)$.

Questo teorema è un’immediata conseguenza della proprietà dimostrata al principio del n. 44, purchè si consideri il complesso delle $nn'$ tangenti come un luogo dell’ordine $nn'$, e la curva d’ordine $n'$, ripetuta due volte, come un luogo dell’ordine $2n'$.

(c) Una curva del terz’ordine passi pei vertici di un esagono e per due de’ tre

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1. Cayley, {On the Intersection of Curves} (Cambridge Mathematical Journal, vol. III, 1843, p. 211).
2. Maclaurin, l. c. p. 237.