Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 109

by Guido Fubini

Capitolo 18 - Considerazioni e definizioni fondamentali

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 18 - Considerazioni e definizioni fondamentali

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§ 109. — Considerazioni e definizioni fondamentali.

Il calcolo integrale si propone il seguente problema fondamentale: Conosciuta la derivata di una funzione, come si può calcolare questa funzione?

Ora possiamo proporci il seguente problema più generale: Sia $y$ una funzione di una o più variabili indipendenti; consideriamone le derivate di primo, di secondo..... ennesimo ordine, e supponiamo che sia nota soltanto qualche relazione fra la $y$, le variabili indioendenti e queste sue derivata. Ci domandiamo:

In quanto può una tale relazione servire per determinare la funzione incognita $y$?

Una relazione di questo genere si chiama una equazione differenziale e il problema che vi si riferisce, e che noi abbiamo enunciato, si chiama: il problema dell'integrazione delle equazioni differenziali.

Cominciamo a porre una distinzione fondamentale. Può avvenire che le variabili indipendenti si riducano ad una sola e quindi che la relazione data sia una relazione fra la funzione, la variabile e le derivate di ordine 1, 2, ....., $n$ della funzione rispetto all'unica variabile. Oppure può darsi che le variabili indipendenti siano più d'una; e in tal caso le derivate, che figurano nella nostra equazione, saranno derivate parziali.

Nel primo caso l'equazione si dirà a derivate ordinarie, nel secondo si dirà a derivate parziali.

Nell'uno e nell'altro caso si chiamerà ordine n dell'equazione quello della derivata di più alto ordine che in essa comparisce.

Può darsi che invece di una sola relazione tra le variabili, la funzione e le sue derivate ne siano date più, da considerarsi come simultanee; allora si ha ciò che si chiama sistema di equazioni differenziali. Può anche darsi che si abbiano sistemai di equazioni differenziali con più funzioni incognite. L'analisi offre continui esempi di problemi, la cui risoluzione dipende da equazioni differenziali. Del resto è ben noto che anche la fisica, la meccanica, ecc, offrono innumerevoli esempi di tali problemi, perchè un gran numero di leggi fisiche si enunciano precisamente mediante equazioni differenziali. La legge di gravitazione universale, p. es., ci dà un legame tra le distanze dei centri dei corpi celesti e le rispettive accelerazioni, cioè le derivate seconde rispetto al tempo delle coordinate di tali centri.

Già i problemi che abbiamo risolto ai §§ 90, 92, 93 sono altrettante integrazioni di particolati equazioni o sistemi di equazioni differenziali.

Così, p. es., il problema di ricercare una funzione $z$ di $x$ e $y$ tale che la sua derivata rispetto a $x$ sia $M(x,y)$, e la sua derivata rispetto a $y$ sia $N(x,y)$, consiste nell'integrazione sel sistema di due equaizoni differenziali del primo ordine a derivate parziali:

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial z}{\partial x}}=M(x,y),\\{\frac {\partial z}{\partial y}}=N(x,y)\end{matrix}}\right.$.

La ricerca delle funzioni $z$ di $x$ e $y$ per cui la derivata parziale mista fatta prima rispetto a $x$ e poi rispetto a $y$ sia uguale a $P(x,y)$, non è altro che l'integrazione dell'equazione differenzale del secondo ordine a derivate parziali:

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=P(x,y)$.

La ricerca delle funzioni che hanno per derivata $f(x)$ si riduce all'integrazione dell'equazione differenziale ordinaria del primo ordine:

                                                  ${\frac {dz}{dx}}=f(x)$                                        (1)

È chiaro che la (1) è l'equazione differenziale di tipo più semplice: su di essa ci siamo lungamente trattenuti, formando la sua risoluzione l'oggetto precipuo del calcolo integrale. Ma è pure ben manifesto che, se per l'integrazione della (1) ci trovavamo assai spesso nel caso di non saperla eseguire che per approssimazione, per l'integrazione di equazioni differenziali più complesse avverrà generalmente altrettanto. Noi ci limiteremo esclusivamente allo studio di particolari tipi di equazioni. lo studio generale delle equazioni differenziali costituisce da solo uno dei rami più estesi delle matematiche, e riceve continue applicazioni alle scienze fisiche, e in genere a tutte le sceinze che hanno per oggetto enti suscettibili di misura.