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capitolo xviii — § 110 |
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per le considerazioni precedenti tutte e sole le funzioni
della
che risolvono la (3) o la (4) sono le funzioni rappresentate implicitamente dall'equazione
,
dove
è una costante affatto arbitraria1.
Si voglia, ad esempio, risolvere l'equazione differenziale ordinaria del primo ordine
; (5)
si vogliano cioè trovare tutte e sole le funzioni
della
, che la soddisfano. Poichè
, la (5) si può scrivere moltiplicata per
:
.
Il primo membro è un differenziale esatto, poichè:
.
Le funzioni
, per cui:
,
,
si ottengono integrando
rapporto a
e aggiungendo una funzione di
tale che la funzione che ne risulta abbia per derivata rapporto a
la
.
Sarà dunque:
,
essendo
tale che:
.
- ↑ Più precisamente la
deve soddisfare a questa unica condizione, che la
sia risolubile rispetto alla
. Così, p. es., se per
, le
sono finite e continue, ed
, si può porre
. (Cfr. § 84,
).