La geometria non-euclidea/Capitolo V/Rappresentazione della geometria di Lobacelski-Bolyai su piano euclideo
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RAPPRESENTAZIONE DELLA GEOMETRIA DI Lobacefski-Bolyai SUL PIANO EuclideO.
§ 84. Alla interpretazione proiettiva delle metriche non-euclidee, di cui sopra abbiamo discorso, si collega una interessante rappresentazione che può darsi della geometria iperbolica sul piano euclideo. Per ottenerla fissiamo sul piano una conica reale non degenere, per es. un cerchio, e relativamente a questo cerchio poniamo le seguenti definizioni:
Piano = Regione dei punti interni al cerchio.
Punto = Punto interno al cerchio.
Retta = Corda del cerchio.
Si può allora verificare immediatamente che i postulati relativi alla determinazione della retta, alle proprietà segmentarie ed angolari si traducono in proporzioni che sono sempre valide anche quando si adottino le predette significazioni degli enti.
Ma nel successivo sviluppo della geometria ai detti postulati si aggiungono i postulati della congruenza, contenuti nel seguente principio del movimento.
Dati nel piano due punti A, A' e per essi rispettivamente le rette a, a', esistono quattro maniere di sovrapporre il piano a se stesso, in modo che A ed a coincidano rispettivamente con A' ed a'. Più precisamente una maniera di sovrapposizione resta definita se si fissano come corrispondenti un raggio di a ed un raggio di a', una banda del piano rispetto ad a ed una banda del piano rispetto ad a'. Di questi quattro movimenti due sono congruenze dirette, due congruenze inverse.
Quando si adottino le precedenti interpretazioni degli enti punto, retta, piano, il principio qui espresso si traduce nella seguente proposizione:
Data nel piano una conica [ad es. un cerchio] e fissati due punti interni A, A' e per essi rispettivamente le corde a, a', esistono quattro trasformazioni proiettive del piano che mutano in se stessa la regione dei punti interni alla conica e che fanno corrispondere A ed a rispettivamente ad A' ed a'. Per fissarne una basta richiedere che un dato estremo di a corrisponda ad un dato estremo di a' e che ad una determinata banda del piano rispetto ad a, una determinata banda del piano rispetto ad a'. Di queste quattro trasformazioni due subordinano sulla conica proiettività concordi, le altre due proiettività discordi.
§ 85. Dimostriamo il contenuto di questa proposizione, riferendoci per semplicità a due coniche distinte tau, tau', giacenti o no sullo stesso piano. [vedi figura 51.png]
Siano M, N gli estremi della corda a; M', N' quelli della corda a' e P, P' i poli di a ed a' rispetto alle relative coniche tau, tau'.
Ciò posto la retta PA interseca la conica tau in due punti reali 
e distinti R, S e la retta P'A' la conica tau' nei due punti reali e distinti R', S'.
Una trasformazione proiettiva che muti tau in tau', la retta a nella retta a', il punto A nel punto A', fa corrispondere al punto P punto P', alla retta PA la retta P'A'. Questa trasformazione subordina poi fra le due coniche una corrispondenza proiettiva in cui ai punti della coppia M, N corrispondono quelli della coppia M', N', ed a quelli della coppia R, S quelli della coppia R', S'.
Viceversa una trasformazione proiettiva fra le due coniche che goda di queste proprietà è subordinata da una trasformazione proiettiva fra i due piani, come quella sopra descritta1.
Ma considerando le due coniche tau, tau' vediamo che ai punti della quaterna MNRS di tau si possono ordinatamente fare corrispondere i punti di una qualunque delle seguenti quaterne di tau':
M' N' R' S'
N' M' S' R'
M' N' S' R'
N' M' R' S',
per cui rimane provata l'esistenza delle quattro proiettività, di cui si parla nell'enunciata proposizione.
Se ora supponiamo che le due coniche coincidano nulla dobbiamo mutare nel precedente ragionamento. Aggiungeremo però che delle quattro proiettività in discorso una ed una sola fa corrispondere il segmento AM al segmento A'M', 
mentre si corrispondono fra loro le due regioni tratteggiate nella figura.
Inoltre le due proiettività definite dalle quaterne:
(M N R S
M' N' R' S'),
(M N R S N' M' S' R')
subordinano sulla conica proiettività concordi, le altre due, definite dalle quaterne:
(M N R S M' N' R' S'),
(M N R S N' M' S' R')
subordinano proiettività discordi.
§ 86. Ciò posto, riprendiamo, completando, le definizioni del § 84, relativamente ad un cerchio dato sul piano.
Piano = Regione dei punti interni al cerchio.
Punto = Punto interno al cerchio.
Retta = Corda del cerchio
Movimenti = Trasformazioni proiettive del piano che mutano in se stessa la regione dei punti interni al cerchio.
Ribaltamenti = Trasformazioni omologiche del cerchio.
Figure congruenti = Figure trasformabili l'una nell'altra mediante una delle nominate proiettività.
I precedenti sviluppi permettono senz'altro di affermare che tutte le proposizioni della geometria piana elementare, legate ai concetti di retta, angolo, congruenza, possono convenientemente tradursi in proprietà relative al sistema dei punti interni al cerchio, sistema che indicheremo {S}.
In particolare vediamo che cosa corrisponda nel sistema {S} a due rette ortogonali del piano ordinario.
Osserviamo perciò che se r ed s sono due rette ortogonali, un ribaltamento del piano intorno ad s sovrappone a se stessa la retta r, scambiando però i due raggi in cui essa è divisa da s.
Secondo le definizioni poste un ribaltamento in {S} è una ontologia che ha per asse una corda s del cerchio e per centro il polo della corda. Le rette unite in questa omologia sono, all'infuori di s, tutte le rette passanti per il centro di omologia; talchè nel sistema {S}, dovranno chiamarsi perpendicolari due rette coniugate rispetto al cerchio fondamentale.
Si potrebbero facilmente verificare in {S} tutte le proposizioni relative alle rette perpendicolari; in particolare che se dal punto comune di due corde coniugate in {S} si tracciano le tangenti [immaginarie coniugate] al cerchio fondamentale, queste tangenti sono separate armonicamente dalle due rette ortogonali [cfr. § 79].
§ 87. Vediamo ancora come nella metrica convenzionale, stabilita nell'interno del cerchio, possa esprimersi la distanza di due punti.
Si introduca perciò un sistema di coordinate ortogonali (x, y) con l'origine nel centro del cerchio. La distanza di due punti A (x, y), B (x', y'), nel piano convenzionale, non può rappresentarsi col solito radicale:
radice di [(x-x')2 + (y-y')2,
giacchè esso non è invariante per le trasformazioni proiettive sopra chiamate movimenti; la distanza sarà una funzione delle loro coordinate, invariantiva rispetto alle predette trasformazioni, che sulla retta gode della proprietà distributiva, espressa dalla formula:
dist. (AB) = dist. (AC) + dist. (CB).
Ora una espressione delle coordinate (x, y), (x', y'),di A e B, che rimanga invariata per tutte le trasformazioni proiettive che lasciano fisso il cerchio limite, è il birapporto dei quattro punti A, B, M, N, dove M N sono gli estremi della corda AB: la espressione più generale che gode della richiesta proprietà invariantiva è una funzione arbitraria di tale birapporto.
Richiedendo poi che la detta funzione riesca distributiva, nel senso sopra indicato, bisogna assumerla, a meno d'un fattore di proporzionalità, uguale al logaritmo di
(ABMN) = AM/BM : AN/BN ——
Avremo dunque:
dist. (AB) = k/2 log. (ABMN).
Analogamente si procede per valutare l'angolo di due rette. In questo caso bisogna osservare che volendo che l'angolo retto sia espresso da pigreco/2, è necessario assumere per costante moltiplicatrice del logaritmo il fattore 1/2i. Avremo così:
1
ab = 1/2i log. (abmn),
ove con m, n s'indicano le tangenti immaginarie coniugate condotte pel vertice dell'angolo al cerchio e con (abmn) il birapporto delle quattro rette, a, b, m, n, espresso analiticamente da:
sen (am) sen (an)
———————— : ————————
sen (bm) sen (bn)
§ 88. Riferendoci a quanto si disse intorno alla subordinazione della geometria metrica alla proiettiva [§ 81] è chiaro che le formule precedenti, relative alla distanza ed all'angolo, coincidono con quelle che si avrebbero sul piano non euclideo, il cui assoluto fosse un cerchio. Questo basterebbe per farci concludere che la geometria del sistema {S} fornisce una rappresentazione concreta della geometria di Lobacefski-Bolyai. Però, volendo render ci conto in modo più approfondito di questo fatto, cerchiamo come si traducano in {S} la definizione e le proprietà delle rette parallele.
Siano r(u1, u2, u3) e r'(v1, v2, v3) due corde distinte del cerchio fondamentale. Riferendo il cerchio ad un sistema cartesiano ortogonale, con l'origine nel centro, e prendendo per unità di misura il raggio avremo:
x2+ y2 – 1 = o,
u2 + v2 – 1 = o,
per equazione puntuale e tangenziale del cerchio.
Rendendo omogenee queste equazioni otteniamo:
x12+ x22 – x32 = 0,
u12 + u22 – u32 = 0,
L'angolo rr' delle due rette può calcolarsi per mezzo delle formule (3') del § 81, ponendo in esse: psiuu = u12 + u22 – u32 psivv = v12 + v22 – v32 psiuu = u1v1 + u2v2 – u3v3.
Otterremo, ad es.:
[vedi formula 162.png]
Se ora si osserva che le rette r e r' hanno rispettivamente per equazione:
x1u1 + x2u2 + x3u3 = 0,
x1v1 + x2v2 + x3v3 = 0,
e che queste rette concorrono nel punto di coordinate:
x1 = u2v3 – u3v2,
x2 = u3v1 – u1v3,
x3 = u1v2 – u2v1,
la precedente espressione dell'angolo rr' assume la forma:
[vedi formula 163.pmg]
Da questa si vede che la condizione necessaria e sufficiente affinché l'angolo rr' sia nullo è data dall'annullarsi del numeratore della frazione ottenuta.
Ma perchè si annulli questo numeratore il punto (x1, x2, x3), in cui s'intersecano le due corde, deve appartenere alla circonferenza del cerchio fondamentale e viceversa; per cui: 
Nella interpretazione convenzionale delle proposizioni geometriche, per mezzo del sistema {S}, dovremo chiamare parallele due corde che s'incontrano in un punto della circonferenza fondamentale, perchè l'angolo di tali corde è nullo.
E poichè per un punto interno ad un cerchio passano due corde che congiungono quel punto con gli estremi di un'altra corda arbitraria, nel sistema {S} sarà verificata la proposizione fondamentale della geometria iperbolica.
§ 89. Per ritrovare in {S} la formula relativa all'angolo di parallelismo calcoliamo anzitutto l'angolo OMN, compreso fra l'asse y e la retta MN che congiunge un punto M di y con l'estremo N dell'asse x. Indicando con a la distanza ordinaria dei due punti M ed O, le coordinate omogenee della retta MN e della retta OM sono rispettivamente (a, 1, – a), (1, O, 0) e le coordinate del punto d'incontro, di queste rette sono (0, a, 1). Allora la formula (4) del precedente § da:
sen OMN = radice di (1 - a2.
D'altra parte, la distanza convenzionale fra i due punti O ed M, per le (2) del § 81, è data da:
[vedi formula 164_a.png]
da cui [vedi formula 164_b.png]
Confrontando questa formula con quella relativa al seno dell'angolo OMN si deduce:
[vedi formula 164_c.png]
relazione che coincide con quella data da Taurinus, Lobacefski, Bolyai per l'angolo di parallelismo [cfr. §. 41].
§ 90. Vediamo finalmente come si esprima in {S} la distanza di due punti infinitamente vicini [distanza elementare], per riavvicinare l'attuale rappresentazione della geometria iperbolica con quella di BELTRAMI [cfr. § 69].
Siano (x, y), (x + dx, y + dy) due punti infinitamente vicini. La loro distanza ds si calcola per mezzo della (2) del § 81, ponendo in essa:
[vedi formula 165_a.png]
Se poi si sostituisce all'arco il seno e si eleva al quadrato, dopo alcune riduzioni si ricava:
(dx2 + dy2)(1 – x2– y2) + (xdx + ydy)2
ds2 = k2 ————————————————————————————————————————
(1 – x2– y2)2(1 – 2xdx + 2ydy – dx2 – dy2)
Trascurando finalmente gli infinitesimi di ordine superiore al secondo:
(dx2 + dy2)(1 – x2– y2) + (xdx + ydy)2
ds2 = k2 —————————————————————————————————————————
(1 – x2– y2)2
ovvero:
(1 – y2) dx2 + 2xy dx dy + (1 – x2) dy2 (5) ds2 = k2 ————————————————————————————————————————
(1 – x2– y2)2
Rammentiamo ora che BELTRAMI, nel 1868, interpretava la geometria di Lobacefski-Bolyai con quella delle superficie di curvatura costante negativa. Lo studio della geometria di tali superficie si effettua muovendo da un sistema (u, v) di coordinate assunto sulla superficie e dalla legge secondo cui si misurano le distanze elementari [ds]. La scelta di un opportuno sistema (u, v) permise a BELTR AMI [1866] di rappresentare il quadrato del ds nella forma seguente:
(1 – v2) du2 + 2uv du dv + (1 – u2) dv2
k2 —————————————————————————————————————————
(1 – u2– v2)2
dove la costante k2 è l'inversa, con segno mutato, della curvatura della superficie2.
Per studiare le proprietà delle superficie in discorso e metterle a confronto con quelle della metrica di Lobacefski-Bolyai, il BELTRAMI, nel suo «Saggio» citato a § 69, si giovò del seguente artifizio. Su di un piano ausiliario rappresentò i punti della superficie, in modo che al punto (u, v) di questa corrispondesse su quello il punto di coordinate cartesiane
x = u , y = v.
I punti della superficie vennero così rappresentati sul piano in punti interni al cerchio
x2+ y2 – 1 = 0,
i punti all'infinito della superficie in punti della circonferenza di questo cerchio, le geodetiche in corde, le geodetiche parallele in corde incidenti in un punto della nominata circonferenza, etc. L'espressione del ds2 si tradusse poi nell'espressione (5), secondo cui si misurano le distanze elementari nel sistema {S}. Da ciò risulta che BELTRAMI, con la sua rappresentazione piana delle superficie di curvatura costante, fu condott o ad una delle metriche proiettive di CAYLEY, e precisamente alla metrica relativa ad un cerchio fondamentale, da noi esposta nei §§ 80, 81.
§ 91. La rappresentazione della geometria piana iperbolica sul piano euclideo è suscettibile di essere estesa al caso dello spazio. Per rappresentare la geometria dello spazio di Lobacefski-Bolyai nello spazio ordinario basterebbe porre in quest'ultimo le definizioni seguenti:
Spazio = Regione dei punti interni ad una sfera.
Punto = Punto interno alla sfera.
Retta = Corda della sfera.
Piano = Punti di un piano secante interni alla sfera.
Movimenti = Trasformazioni proiettive dello spazio che mutano in se stessa la regione dei punti interni alla sfera, etc....
Con questa specie di dizionario si potrebbero tradurre le proposizioni della stereometria iperbolica in altrettante proprietà dello spazio euclideo relative al sistema dei punti interni alla sfera3.
- ↑ Per questa dimostrazione ed i teoremi di geometria proiettiva su cui essa è fondata cfr., ad es., le «Lezioni di geometria proiettiva.» di F. ENRIQUES, Cap. X, p. 251-3.
- ↑ «Risoluzione del problema di riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee rette.»; Ann. di Mat., t. VII, p. 185-204 [1866]. — Opere Mat., t. I, p. 262-80 [Milano, Hoepli, 1902].
- ↑ Della interpretazione della stereometria non-euclidea ed in generale della interpretazione della geometria delle varietà di curvatura costante a più dimensioni, si occupò pure il BELTRAMI, nella memoria: «Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante.»; Annali di Matem., (2), t. II, p. 232-55 [1868]. - Opere Mat., t. I, p. 406-29 [Milano, Hoepli, 1902].