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Si può allora verificare immediatamente che i postulati relativi alla determinazione della retta, alle proprietà segmentarie ed angolari si traducono in proporzioni che sono sempre valide anche quando si adottino le predette significazioni degli enti.
Ma nel successivo sviluppo della geometria ai detti postulati si aggiungono i postulati della congruenza, contenuti nel seguente principio del movimento.
Dati nel piano due punti A, A' e per essi rispettivamente le rette a, a', esistono quattro maniere di sovrapporre il piano a se stesso, in modo che A ed a coincidano rispettivamente con A' ed a'. Più precisamente una maniera di sovrapposizione resta definita se si fissano come corrispondenti un raggio di a ed un raggio di a', una banda del piano rispetto ad a ed una banda del piano rispetto ad a'. Di questi quattro movimenti due sono congruenze dirette, due congruenze inverse.
Quando si adottino le precedenti interpretazioni degli enti punto, retta, piano, il principio qui espresso si traduce nella seguente proposizione:
Data nel piano una conica [ad es. un cerchio] e fissati due punti interni A, A' e per essi rispettivamente le corde a, a', esistono quattro trasformazioni proiettive del piano che mutano in se stessa la regione dei punti interni alla conica e che fanno corrispondere A ed a rispettivamente ad A' ed a'. Per fissarne una basta richiedere che un dato estremo di a corrisponda ad un dato estremo di a' e che ad una determinata banda del piano rispetto ad a, una determinata banda del piano rispetto ad a'. Di queste quattro trasformazioni due subordinano sulla conica proiettività concordi, le altre due proiettività discordi.
§ 85. Dimostriamo il contenuto di questa proposizione, riferendoci per semplicità a due coniche distinte tau, tau', giacenti o no sullo stesso piano. [vedi figura 51.png]
