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la precedente espressione dell'angolo rr' assume la forma:
[vedi formula 163.pmg]
Da questa si vede che la condizione necessaria e sufficiente affinché l'angolo rr' sia nullo è data dall'annullarsi del numeratore della frazione ottenuta.
Ma perchè si annulli questo numeratore il punto (x1, x2, x3), in cui s'intersecano le due corde, deve appartenere alla circonferenza del cerchio fondamentale e viceversa; per cui: 
Nella interpretazione convenzionale delle proposizioni geometriche, per mezzo del sistema {S}, dovremo chiamare parallele due corde che s'incontrano in un punto della circonferenza fondamentale, perchè l'angolo di tali corde è nullo.
E poichè per un punto interno ad un cerchio passano due corde che congiungono quel punto con gli estremi di un'altra corda arbitraria, nel sistema {S} sarà verificata la proposizione fondamentale della geometria iperbolica.
§ 89. Per ritrovare in {S} la formula relativa all'angolo di parallelismo calcoliamo anzitutto l'angolo OMN, compreso fra l'asse y e la retta MN che congiunge un punto M
