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§ 86. Ciò posto, riprendiamo, completando, le definizioni del § 84, relativamente ad un cerchio dato sul piano.
Piano = Regione dei punti interni al cerchio.
Punto = Punto interno al cerchio.
Retta = Corda del cerchio
Movimenti = Trasformazioni proiettive del piano che mutano in se stessa la regione dei punti interni al cerchio.
Ribaltamenti = Trasformazioni omologiche del cerchio.
Figure congruenti = Figure trasformabili l'una nell'altra mediante una delle nominate proiettività.
I precedenti sviluppi permettono senz'altro di affermare che tutte le proposizioni della geometria piana elementare, legate ai concetti di retta, angolo, congruenza, possono convenientemente tradursi in proprietà relative al sistema dei punti interni al cerchio, sistema che indicheremo {S}.
In particolare vediamo che cosa corrisponda nel sistema {S} a due rette ortogonali del piano ordinario.
Osserviamo perciò che se r ed s sono due rette ortogonali, un ribaltamento del piano intorno ad s sovrappone a se stessa la retta r, scambiando però i due raggi in cui essa è divisa da s.
Secondo le definizioni poste un ribaltamento in {S} è una ontologia che ha per asse una corda s del cerchio e per centro il polo della corda. Le rette unite in questa omologia sono, all'infuori di s, tutte le rette passanti per il centro di omologia; talchè nel sistema {S}, dovranno chiamarsi perpendicolari due rette coniugate rispetto al cerchio fondamentale.
