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costituiscono, nel loro insieme, la metrica proiettiva. La metrica proiettiva fu studiata da CAYLEY¹, indipendentemente dalle relazioni ch'essa ha con le geometrie non euclidee, relazioni che furono scoperte ed illustrate qualche anno dopo da F. KLEIN².

A KLEIN è pure dovuta una nomenclatura molto usata per le metriche-proiettive. Egli chiama geometria iperbolica, la geometria di CAYLEY relativa ad un assoluto reale non degenere, geometria ellittica quella relativa ad un assoluto immaginario non degenere, geometria parabolica il caso limite delle due precedenti. Sicchè, nel seguito, potremo usare questa nomenclatura per denotare i tre sistemi geometrici di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN [tipo ellittico] di Euclide.

RAPPRESENTAZIONE DELLA GEOMETRIA DI Lobacefski-Bolyai SUL PIANO EuclideO.

§ 84. Alla interpretazione proiettiva delle metriche non-euclidee, di cui sopra abbiamo discorso, si collega una interessante rappresentazione che può darsi della geometria iperbolica sul piano euclideo. Per ottenerla fissiamo sul piano una conica reale non degenere, per es. un cerchio, e relativamente a questo cerchio poniamo le seguenti definizioni:

Piano = Regione dei punti interni al cerchio.

Punto = Punto interno al cerchio.

Retta = Corda del cerchio.

1. Cfr.: «Sixth Memoir upon Quantics.»; Philosophical Transactions, t. CXLIX, p. 61-90 [1859]; ovvero: Math. Papers di CAYLEY, t. II p. 561-92.
2. Cfr. «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.»; Math. Ann., t. IV, p. 573-625 [1871].