La fisica dei corpuscoli/Capitolo 8/6

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 8 - La formola di Planck

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

Capitolo 8 - La formola di Planck

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6. — La formola di Planck. — Ciò premesso, si abbia una sostanza emettente contenuta in un involucro chiuso e impermeabile alla radiazione. Sia costituita di elementi che agiscono come oscillatori e che perciò assorbiranno ed emetteranno energia. Ogni oscillatore abbia il suo periodo proprio di vibrazione e siano presenti tutte le frequenze possibili.

Si può porre come intuitivo che quando un tale sistema ha raggiunto uno stato stazionario per la distribuzione nel suo interno è uniforme in ogni punto e la quantità media di energia di una determinata lunghezza d’onda posseduta da un oscillatore sarà proporzionale alla quantità di energia di quella specie presente nel sistema.

Se chiamiamo con $\varrho _{\lambda }$ la quantità di energia ordinaria, ossia non polarizzata, di lunghezza d’onda $\lambda$ presente in un’unità di volume, in altri termini la densità di quella specie di energia, e con $w_{\lambda }$ la energia media ordinaria di un oscillatore dello stesso periodo, la proporzionalità viene espressa dalla formola

190)	$\varrho _{\lambda }\,=\,{\frac {8\,\pi }{\lambda ^{4}}}\,w_{\lambda }$ .

E poichè l’energia emessa è proporzionale a quella esistente nell’unità di volume, e per $\lambda$ decrescente l’energia emessa va diventando indefinitamente piccola, così altrettanto si dovrà dire per $\varrho$ e quindi anche per w. Potremo dunque dire che al diminuire della lunghezza d’onda diminuisce l’energia dell’oscillatore corrispondente. Se invece di $\lambda$ consideriamo $\nu$ legato a $\lambda$ dalla relazione

191)	$\lambda \,=\,{\frac {q}{\nu }}$,

in cui q è la velocità di propagazione dell’energia e $\nu$ la frequenza, o numero di vibrazioni per un secondo, possiamo dire che col crescere della frequenza diminuisce l’energia dell’oscillatore corrispondente¹.

Questa diminuzione avverrebbe con continuità. Ma poichè non possiamo seguirla con continuità il Planck sostituisce una distribuzione in zone elementari in ciascuna delle quali l’energia resta costante. Queste zone elementari sono di grandezza finita e corrispondono ai campi G di cui abbiamo parlato.

Gli oscillatori contenuti in questi campi di eguale probabilità possono assorbire energia con continuità², ma non possono emetterla se non quando ne posseggano un numero intero di quanti elementari, e nell’emissione l’energia dell’oscillatore si riduce allo zero. Questi quanti elementari dipendono dall’ampiezza dei campi G che per gli oscillatori è data da h, come s’è visto, e dalla frequenza $\nu$ propria dell’oscillatore. E precisamente il quanto di energia del Planck è

192)	$\varepsilon \,=\,h\,\nu$ .

Con queste ipotesi fondamentali il Planck dimostra che l’energia media di frequenza ν degli oscillatori si può esprimere così

193)	$w=\,{\frac {hv}{e^{\frac {{\text{N}}h\nu }{\text{R T}}}\,-\,1}}$

in cui N è il numero di Avogadro per la molecolagrammo e T la temperatura assoluta del sistema.

Se invece di $\nu$ introduciamo $\lambda$, secondo la 191), avremo

194)	$w={\frac {ch}{\lambda }}\,{\frac {1}{e^{\frac {{\text{N}}ch}{{\text{R}}\lambda {\text{T}}}}\,-\,1}}$ .

E allora, ricordando la 190), la $\varrho$ prenderà la forma

195)	$\varrho \,=\,{\frac {8\pi ch}{\lambda ^{5}}}\,{\frac {1}{e^{\frac {{\text{N}}ch}{{\text{R}}\lambda {\text{T}}}}\,-\,1}}$ .

e finalmente, per la 179) osservando che l’energia esistente nell’unità di volume è niente altro che la densità $\varrho$, e ponendo al posto di q la velocità c propria del vuoto, potremo scrivere

196)	${\text{E}}_{\lambda }\,=\,{\frac {c^{2}h}{\lambda ^{5}}}\,{\frac {1}{e^{\frac {{\text{N}}ch}{{\text{R}}\lambda {\text{T}}}}\,-\,1}}$ .

Questa espressione è appunto la forma che prende la funzione ${\text{F}}\left(\lambda ,{\text{T}}\right)$ nelle ipotesi del Planck. Come si vede la funzione corrisponde perfettamente alla forma data dal Wien nella 184). La formula del Planck è l’unica che coincide con i risultati sperimentali³. Se la 196) si applica ai valori di $\lambda$ e di T per i quali il prodotto $\lambda {\text{T}}$ è piccolo rispetto ad R/N essa si riduce a

197)	${\text{E}}_{\lambda }={\frac {c^{2}h}{\lambda ^{5}}}\,e^{-{\frac {{\text{N}}ch}{{\text{R}}\lambda {\text{T}}}}}$

che è della forma della 185) data dal Wien. Applichiamo invece a valori grandi di $\lambda {\text{T}}$. Allora potremo porre

$e^{\frac {{\text{N}}ch}{{\text{R}}\lambda {\text{T}}}}\,=\,1\,+\,{\frac {{\text{N}}ch}{{\text{R}}\lambda {\text{T}}}}$

e la formola 195) per la densità del volume diventa

198)	$\varrho ={\frac {8\pi {\text{RT}}}{{\text{N}}\lambda ^{4}}}$

e quella per l’energia emessa 196)

199)	${\text{E}}={\frac {c{\text{RT}}}{{\text{N}}\lambda ^{4}}}$

Queste due ultime formole rappresentano la legge di distribuzione di Lord Rayleigh⁴ e che suol anche essere detta equazione spettrale di Jeans⁵ e Lorentz⁶. Ciascuno di questi tre ha seguito una via diversa per giungere a questa legge, ma son tutti partiti dalle stesse ipotesi e giunti allo stesso risultato.

Note

1. Si preferisce in generale di ter conto della frequenza $\nu$ piuttosto che della lunghezza d’onda $\lambda$, perchè quella non cambia da un mezzo ad un altro, mentre $\lambda$ dipende dalle costanti del mezzo.
2. Nella prima forma della teoria il Planck aveva posto che anche l’assorbimento dovesse compiersi per quanti di energia, ma nella nuova forma ha potuto introdurre l’assorbimento continuo.
3. Vedi per es. le esperienze di Rubens e Kurlbaum in Ann. d. Ph. 4, p. 649 (1901) ed anche quelle precedenti di Lummer e Pringsheim già citate.
4. Lord Rayleigh, Phil. M. 49, p. 539 (1900).
5. J. H. Jeans, Phil. M. (6), 17, p. 229 (1909); Phil. M (6), 10, p. 91 (1905).
6. H. A. Lorentz, IV Congresso dei Matematici, Roma; Nuovo Cimento s. V. Vol. XVI (1908); The theorie of Electrons, p. 80 ... (1909)