La fisica dei corpuscoli/Capitolo 8/7
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7. — L’equipartizione dell’energia e le formole di Jeans-Lorentz — Le formole 198) e 199) a differenza della formola del Planck si conformano al principio della equipartizione dell’energia. Quando si è parlato dell’energia posseduta dalle molecole gassose, si è detto che il principio della equipartizione richiede che per molecole le quali ammettono un moto complesso si attribuisca la stessa quantità di energia a ciascun grado di libertà.
Lo stesso principio ci dice che in un sistema di corpuscoli in moto, quando si sia raggiunto uno stato stazionario, a ciascun corpuscolo si deve attribuire la stessa quantità media di energia, anche se i corpuscoli sono di specie diversa e possiedono masse diverse. Se si potesse esaminare separatamente ciascun corpuscolo in un determinato istante si riscontrerebbe che l’energia varia di molto dall’uno all’altro, ma se si prende in esame una zona sufficientemente estesa del sistema, e si calcola il valore medio dell’energia cinetica posseduta dai corpuscoli, questo valore non cambia da una zona all’altra, purché tutto il sistema si trovi in equilibrio alla stessa temperatura. Questo fatto ci permette di attribuire a ciascun corpuscolo una stessa quantità di energia e precisamente quel valore medio determinato.
Il principio della equipartizione della energia si deve al Maxwell che lo enunciò fin dal 1860, ed ha avuto vaste ed importanti applicazioni specialmente per opera del Boltzmann.
Nel caso attuale il sistema che emette energia raggiante può contenere molecole, atomi, elettroni, ma per il principio di Maxwell devono essere considerati tutti alla stessa stregua.
Per sapere poi quale energia dovremo attribuire a ciascun corpuscolo bisogna sapere il grado di libertà che essi posseggono. Ed in questo computo bisogna tener conto tanto dell’energia cinetica quanto di quella potenziale. Se immaginiamo che i vari corpuscoli vibrino intorno ad una posizione di equilibrio, come sembra più naturale ammettere per il meccanismo della emissione, si sa stabilire il numero dei gradi di libertà del sistema. È un problema statistico, si riduce a determinare il numero dei modi possibili di vibrazione, ed è analogo ad un problema di acustica già studiato da Lord Rayleigh.
Per vibrazioni la cui lunghezza d’onda è compresa fra e quel numero è dato nel caso nostro da
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e rappresenta il numero totale dei gradi di libertà di tutti i corpuscoli contenuti in un volume unitario.
Basterà allora moltiplicare questo numero per la quantità di energia che sappiamo doversi attribuire a ciascun grado di libertà, ossia quella espressa dalla formola 64)1. Otteniamo così la formola 198) che rappresenta appunto la quantità di energia di quella specie contenuta nell’unità di volume. Il Jeans vi è giunto appunto per questa via.