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La formola di Planck

191

Con queste ipotesi fondamentali il Planck dimostra che l’energia media di frequenza ν degli oscillatori si può esprimere così

193)	$w=\,{\frac {hv}{e^{\frac {{\text{N}}h\nu }{\text{R T}}}\,-\,1}}$

in cui N è il numero di Avogadro per la molecolagrammo e T la temperatura assoluta del sistema.

Se invece di $\nu$ introduciamo $\lambda$, secondo la 191), avremo

194)	$w={\frac {ch}{\lambda }}\,{\frac {1}{e^{\frac {{\text{N}}ch}{{\text{R}}\lambda {\text{T}}}}\,-\,1}}$ .

E allora, ricordando la 190), la $\varrho$ prenderà la forma

195)	$\varrho \,=\,{\frac {8\pi ch}{\lambda ^{5}}}\,{\frac {1}{e^{\frac {{\text{N}}ch}{{\text{R}}\lambda {\text{T}}}}\,-\,1}}$ .

e finalmente, per la 179) osservando che l’energia esistente nell’unità di volume è niente altro che la densità $\varrho$, e ponendo al posto di q la velocità c propria del vuoto, potremo scrivere

196)	${\text{E}}_{\lambda }\,=\,{\frac {c^{2}h}{\lambda ^{5}}}\,{\frac {1}{e^{\frac {{\text{N}}ch}{{\text{R}}\lambda {\text{T}}}}\,-\,1}}$ .

Questa espressione è appunto la forma che prende la funzione ${\text{F}}\left(\lambda ,{\text{T}}\right)$ nelle ipotesi del Planck. Come si vede la funzione corrisponde perfettamente alla forma data dal Wien nella 184). La formula del Planck è l’unica che coincide con i risultati sperimentali¹.

1. Vedi per es. le esperienze di Rubens e Kurlbaum in Ann. d. Ph. 4, p. 649 (1901) ed anche quelle precedenti di Lummer e Pringsheim già citate.