La fisica dei corpuscoli/Capitolo 3/17

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 3 - Energia cinetica e calore specifico dei gas

../../Capitolo_3/16 ../../Capitolo_3/18 IncludiIntestazione 23 febbraio 2022 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

Capitolo 3 - Energia cinetica e calore specifico dei gas

◄

Capitolo 3 - 16

Capitolo 3 - 18

►

17. — Energia cinetica e calore specifico dei gas. — Sia un corpo formato di particelle o molecole libere di muoversi. In uno stato stazionario le varie velocità, che le molecole possedevano in principio, si sono distribuite uniformemente per effetto degli urti scambievoli, e si potrà supporre che tutte le molecole posseggano una stessa velocità media uniforme. Se $m$ è la massa di una molecola, $c$ la sua velocità media, l’energia cinetica che essa possiede sarà

${\frac {1}{2}}mc^{2}$ .

Se tutto il corpo contiene $n$ molecole tutte eguali, la energia cinetica totale posseduta dal corpo sarà

${\frac {1}{2}}nmc^{2}$ .

Questa grandezza dovrà essere, in generale, una funzione della temperatura assoluta del corpo, ma possiamo anche dire che sarà proporzionale a questa. Nel caso dei gas combinando le due formole 11) e 27) ricaviamo

62)	${\frac {1}{2}}nmc^{2}\,=\,{\frac {3}{2}}{\text{RT}}$ .

essendo T la temperatura assoluta, R la costante dei gas definita sopra¹, e quindi l’energia posseduta da ciascuna molecola si potrà esprimere

63)	$e\,=\,{\frac {1}{2}}mc^{2}\,=\,{\frac {3}{2}}{\frac {\text{RT}}{n}}$ .

Se si considera un grammomolecola del gas ad $n$ si dovrà sostituire il numero N di Avogadro, ed R si dovrà prendere nel suo valore corrispondente.

Nelle ipotesi fatte ciascuna molecola si può muovere in una direzione qualunque. Se riferiamo il moto traslatorio a 3 assi coordinati a ciascuna molecola compete una componente lungo ciascun asse. La teoria delle probabilità dimostra che la distribuzione più probabile in uno stato di equilibrio è quella in cui a ciascuna molecola per ciascuna componente è distribuita una egual parte di energia. Nel caso presente per ciascuna delle 3 componenti si dovrà dunque assegnare una energia

64)	$\epsilon \,=\,{\frac {1}{2}}{\frac {\text{RT}}{\text{N}}}$,

e per tutte le molecole

65)	${\text{E}}={\frac {1}{2}}\,{\text{RT}}$ .

Il numero dei moti elementari possibili, tre nel caso considerato, rappresenta quello che si chiama grado di libertà del sistema. A ciascun grado di libertà compete una quantità di energia rappresentata dalla 64).

Questo vale finchè le molecole si considerano come semplici punti materiali, od anche quando siano sfere perfettamente lisce e uniformi, in modo che non si debbano considerare moti di rotazione. Inoltre non si tien conto degli urti scambievoli delle molecole. Ciò è giustificato dal fatto che la durata di un urto si suppone brevissima e trascurabile rispetto alla durata del moto rettilineo negli spazi intermolecolari.

Se la forma delle molecole è più complessa saranno possibili, oltre ai tre modi elementari traslatori, altri moti di rotazione. L’energia totale del sistema prenderà una forma più complessa, ma seguiterà a valere la legge della equipartizione dell’energia per i singoli moti possibili, perchè quella legge non si fonda sulla natura delle molecole ma sulle leggi della probabilità.

Sicchè se saranno possibili un numero $q$ di moti, in altri termini se il sistema possederà un numero $q$ di gradi di libertà, a ciascuno di questi competerà la stessa parte di energia. E siccome nel caso del moto traslatorio sappiamo che questa parte di energia è data dalla espressione 64) se si considera una sola molecola o 65) se tutte le molecole, così se il sistema possiede $q$ gradi di libertà ciascuna molecola deve possedere una energia

66)	$\epsilon \,=\,{\frac {q}{2}}{\frac {\text{RT}}{\text{N}}}$,

e tutte le molecole di una molecolagrammo

67)	${\text{E}}={\frac {q}{2}}{\text{RT}}$ .

Se facciamo la derivata di questa espressione rispetto alla temperatura T, nell’ipotesi che T vari senza variare il volume, e quindi senza che il gas compia alcun lavoro esterno, avremo il calore specifico del gas a volume costante per una molecolagrammo.

Se lo indichiamo con $c_{v}$ sarà

68)	$c_{v}\,=\,{\frac {q}{2}}{\text{R}}$ .

Osserviamo che R è espresso qui in calorie e per molecolagrammo.

Questo risultato così semplice concorda molto bene con i risultati sperimentali finchè si tratta di gas semplici.

Immaginiamo per es. un gas monoatomico. Allora la molecola di questo gas si può assimilare ad una sfera perfettamente omogenea e liscia, per la quale non sono possibili che i 3 moti lungo i tra assi, o piuttosto soltanto questi richiedono energia. Allora il numero $q$ dei gradi di libertà è in questo caso eguale a 3. Si ha dunque

$c_{v}\,=\,{\frac {3}{2}}{\text{R}}$;

e prendendo per R il valore ${\text{R}}=\,1.99$

69)	$c_{v}\,=\,2.98$ .

Ora le determinazioni del calore specifico a un volume costante per l’argon e per i vapori di mercurio che sono gas monoatomici hanno dato per il primo

$c_{v}\,=\,2.977$,

per il secondo

$c_{v}\,=\,2.94$,

in molto buon accordo col valore teorico.

Per un gas biatomico oltre ai tre moti di traslazione sono possibili anche due moti di rotazione. Abbiamo dunque 5 gradi di libertà e la formola 68) darà allora

70)	$c_{v}\,=\,4.97$ .

I risultati sperimentali hanno dato questi valori per l'idrogeno, l'ossigeno, l'ossido di carbonio

H2	$c_{v}\,=\,4.85$
O2	$c_{v}\,=\,4.95$
CO	$c_{v}\,=\,4.89$
NO	$c_{v}\,=\,4.99$

Anche qui come si vede l’accordo è completo.

Non però per tutti i corpi si ha questa concordanza. Così per es. per i corpi alogeni il valore di $c_{v}$ sale fino a 6.20 per il cloro, 6.84 per il bromo. 6.52 per il jodio.

Per molecole triatomiche o poliatomiche, purchè siano considerate come sistemi statici, ossia non esistano o non si tenga conto di moti interni, si hanno 6 moti possibili e quindi 6 gradi di libertà. Sarà dunque

71)	$c_{v}\,=\,5.95$ .

L’esperienza ha dato per il vapor acqueo, l’anidride carbonica e l’anidride solforosa i seguenti valori:

H2O	$c_{v}\,=\,6.06$
CO2	$c_{v}\,=\,6.59$
SO2	$c_{v}\,=\,6.68$

Qui l’accordo non è così buono come negli altri casi, ma ci si avvicina ancora.

Finalmente possiamo applicare questa legge di distribuzione anche agli atomi dei corpi solidi se supponiamo gli atomi mobili, mentre le molecole restano ferme. Allora l’atomo costituisce una piccola sfera omogenea con 6 gradi di libertà, se lo supponiamo oscillare intorno ad una posizione di equilibrio. Sarà dunque anche per il calore atomico dei corpi solidi

72)	$c_{at.}\,=\,5.95$ .

Se ricordiamo la legge di Dulong e Petit² che dice che tutti i solidi hanno lo steso calore atomico e questo ha un valore vicino al 6, dobbiamo affermare che l’accordo è molto buono.

Note

1. Vedi pag. 48.
2. Vedi pag. 19.