Fabrica et uso del compasso polimetro/Parte Terza/Sferalica. Cap. IIII.
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104 VSO DELLA S r £ A L I c u. CAP. IIII. Ella sferalica fono fegnacc le grandezze proportionate à i diametri delle palle di diuerfi pefid’vna iftef- famateria, & perciò per loro ftefTe non feruono quafi ad’altro che al rinuenire le grandezze proprie de i diametri veri,col mezzo d’vno vero di che pefo fi fia di quelli notati in cfla; òpertrouirnedue,trè, ò più che le loro pallehhbbianoqualche data proportione, & tutte infieme,ò fiano vguali di pefo ad’vn’altra propofta da principio, ouero ad’effa habbiano qualche altra proportione data : & perche non amettono le parti degl' intieri, di qui è che non fi poffono adattare fe non à quei problemi, che fi poffono foluere coi numeri rationali ; Laonde eflendofi proporti diuerfi effempi nel trattato dell’vfo del Compaffo Polimetro, per non replicare l’ifteffe cofe, ò poco differenti, fc ne proporà vn folo, di trouare i diametri di rrè palle,con certa conditione,che fi foffero vacue, con vnagrofezza proportionata alle grandezze loro, & fatta di materia, come le campane, od’altra cofa fonora,per l’armonia che percofle renderebbono, riufeirà forfè curiofo, & grato. PRO RICA P0L1METRA. 105 PROBLEMA XII. Siano proporti due numeri, che frà loro habbiano qualche data proportione, & vogliafi trouare i diametri di tré palle, chela prima alla terza, habbia la proportione data,& fia l'iftefla che hà l’eccello, che quella di mezzo fupera la minore , à quello che è fuperato dalla maggiore. Siano i numeri della proportione propofta 3.6 7,1'quali congiunti infieme fanno 10, la cui metà 5, c il medio frà il 3, & il 7, neU’analogia aritmetica : con quefto lì multiplicarà l’vno, c l'atro di loro , onde fe ne produranno due altri 15.6 3?,nelPiftefTa proportione, frà quali me- ^ dio nella analogia armonica, farà il ai,fatto fettimo. dalla multiplicatione del 3, col 7;elfendo che il 2.1, eccede il 15, di fei vnità : & è ecceduto dal 35, di quattordici,che fononell’ifteffa jpportio- ne che i numeri proporti da principio 3,& 7*Per tanto nella fondamentale ab, fi trafportaran- no dalla sferalica le tré grandezze fegnate coi numeri 15,21,35,& col centro a, & detti inter- uallifi deferiueranno portioni di circonferenza ; poi in quale più piacerà di loro, adattata la grandezza che fi voledelfuo diametro, gl’altri due verranno determinati nelle loro circonferenze dalla linea che congiunge il centro a, con reftremo di quello che fi adattò. O. Chi IO* VSO DELLA Chi voleffe poi che i numeri eftremi forteto quei propichefipoferoda principio, come il 3, & 7; airhora per trouare il medio bifogna ridurre effe proportioni à numeri, che Tempre 1’antecedente minore, fi a l’vnità ; dunque in quefto è (Tempio l’altro, conTeguente Tarebbe 2x> il quale aggiorno col primo farà 3^-, con quefto fi harà à diuidere l'interuallo, che è frà i numeri dati 3,& 7,ciò 4;& il quotientè 1 f congiunto col minor termine 3, farà il medio 47-, i quali numerife fi riduceflèro ad’vna fteflade- uominat ione,che Tarebbono quinti,fi hauereb- bonorifteTsinumeri 15,21,355 come prima . Se poi delle tré palle non foflero propofte leftremejmà vna di efle,& quella di mezzo,& fi hauefle à rinuenire l’altra ; alThora fi ridurrà la proportione delle due date, à i numeri primi,i quali multiplicati infieme faranno l’altro eftre- mo ficome,fedeifopradettinumeri 15»21,35 , ne foflero dati due i5,& 21, de quali la porpor- tione ridotta à i numeri primi è quella di 5, à 7, Te quefti fi multiplicaranno infieme, fi produrrà 35,per il terzo,& cofi Te foflero datigl’altri due 2i,&35,che hanno la proportione di 3, à 5, multiplicandofi infieme fanno 15, il primo termine. Er fe tutte quefte tré palle haueflero ad’efle- revguali di corpo ad’vna già data: fi raccoglieranno infieme tutti i predetti tre numeri
- h2 3JY& la lunghezza della sferaliea fino
ai R1GA P0L1MFTRA. 107 al punto fegnato 71,della loro fomma, trafpor- tata nella Fondamentale ab , fe col centro a, &conquefto interuallo farà defcritta vna circonferenza, & in effa adattato il diametro pro- pofto,la linea retta che congiunge il fuo termine col centro , dcterminarà nell’altre circonferenze i diametri che fi cercano . Se finalmente non haueflero adefierevguai alla palla del diametro propofto, mà con qualche altra proportione,all’hora non fi rrafporta- rà nella fondamentale la grandezza fegnata col numero della foinma di tutte tré loro ; mà fi bene quella del numero,al quale detta fomma, hà la proportione data: come fi è detto difopra; & fi hauerà fatto quello che fi defideraua. PROBLEMA XIII. PRopofti tré diametri ab* CD, EF>di palle d’vna fteffa materia, & fihabbia da ogni vna di loro di leuarue vna feorza proportiona- ta al proprio pefo,in modo che tutte tré le feor- zeinfiemepefino noue di quelle libre che ab, nepefa2o,CD 12,& ef 4. Primieramente fi raccoglierà il numero del pefo di tutte tré loro, che trouaremo effere 36; poi con quella regola che gli Aritmetici chiamano delle cópagnie, fi inueftigarà qual parte ne tocchi per rata à ciaf- cuna;onde per la prima fi haueranno cinque libre per la fecóda tre, & per l’vltima vna,che in O 2 tutto io8 VSO DELLA tutto farannonouccome fidelìderaua, le quali I5? 12,9,4^, ne i punti h, K,l,m,N> O, poi col centroG,&con gl’interualli gh,gl,& gn, defcritte tré circonferenza, fe nella prima hp, che rifponde al numero 20, fi adattaràlaAB,ò nella lq^ la cd, ouero nella nr, la £F ila linea dal centro g, à qual fi fia di detti termini, fard tutto fe fi leuaranno dalli numeri pofti da principio per ordine cioè dal 2o,il 5,reftarà i*,dal 12,3,e reftarà ?;& dal 4, vno che ne reftarà 3;per i pefi delle palle,leuate che faranno le predette fcor- zc : Hora per efeguire il problema in quefto ef- fempio che i numeri fono intieri bafta dalla sferalica trafportare nella Fondamentale gh, le grandezze fegnate con imedefimi numeri io9 RIGA POLIM ETRA, io* tutto il problema ; Imperoche di quel pefo, che HP,e 2o,la*KS, farà 15, & perciò fe della metà della linea retta K s, faremo vn femidiametro d’vn cerchio, col medefimo centro del cerchio AB 3 fihauerà nota la grofezza della feorzadi cinque libre di pefo, & finto il medefimo con la Mt>nella Cd,& con la o N> nella ef jhaueremo quello che fi defideraua. Se i numeri poi non fodero intieri, fi ridaranno ad’vna medefima deuominatione , &fi procederà con quelli, come fi è fatto con que- fti,& la dimoftratione è così chiara che non hà bifogno d'altra efplicatione. PROBLEMA XIV. DA te due palle a,& B,trouare il diametro d*vna che fia vguale ad’arabeduo loro. Sia della palla a, il diametro Cd, & della B, la e F 3& fecciafi che come c D>è alla e », cofi fia ef,à g, & g, à Hi fia K> vguale ad’amenduele c » no VSO DELLA CD, &H, & fra le Cd, & K, le due M, medie proportionali. Dico la palla N,fe harà per diametro la prima di loro L, cffere vguale ad’am- bedue le palle a,& B.Perche effendo le quattro or. allé linee CD, EF 5 G, H, in continoua proportione, 4*\dtW farà come cd, alla H;cofi la palla A, alla palla Vndtn- b,&componendo CD,& h,infieme,cioè K,alla Jtl CD 5 come ambedue le palle AB , infieme alla 'Quinto, palla a,& conuertendo ; come CD,à k, cofi la cor. alla palla A, ad’ambedue le palle a,&b; màcome ?cl CD,à K> cofi è la palla a, alla palla n, che ha per diametro l, perefiere ancora loro Je quattro linee CD,L,M,K*in continoua proportione; dunque la palla n, & le due a, & B, alle quali la medefima A,hà la medefima proportione, fa- 9• del ranno frà loro vguali,che è quello che fi voleua Quinto. ìapcr fare • PROBLEMA XV. DAte due palle difuguali AB,CD;trouare il diametro d’vna che fia vguale alla loro differenza. Facciali che la proportione chehà AB, alla CD,habbia,CD,ad E,&E,ad Fi&fcemata dalla ab, la AG, vguale ad F,fianofràle due ab,& B G,trouate le h,& K>medie proportionali. Dico la prima H,in ordine alla AB,effere il diametro della palla grande quanto la CD,èfupe- madalla ^B. Perche eflendole quattro linee A'J ab, RiG A PO LIM ET RA. m ab, cd, E, f ,in continoua proportione farà cor.alla 2*. del i r. come ab,ad f,cofi lapalIaAB,alIa pallaCD;3c diuidendo come ab meno F,cioè come la bg 17. del alla B A, cofi la palla AB, meno la palla CD, all' Quinto» ifteffa palla ab; In oltre perche anco le quattro linee ab, h, k,&bg, fono in continoua proportione farà come ab, à bg; cofi la palla AB, alla palla h,& conuertendo,B g, à b a, comela palla h, alla palla AB; Màfièdimoftratocome,*. del B G,à b a, cofiefferel'eccclTo che ab, fupera la Quinte. palla cd, ondehauendo alla medefima ab, la palla h, & detto eccelfo la medefima proportione ; faranno frà loro vguali, fi che il diametro h, farà quello che fi defideraua trouare. ME