Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5.7

8.5.7 Applicazione: segnale e fondo

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8.5.7 Applicazione: segnale e fondo

Supponiamo di osservare sperimentalmente un processo fisico, per il quale il numero di eventi s che potrebbero presentarsi in un intervallo temporale prefissato (eventi di segnale) segua una distribuzione di Poisson con valore medio S, e che indicheremo col simbolo ;

:

in generale è ignoto, e ci si propone appunto di determinarlo dall’esperimento. Questo problema verrà poi trattato anche nel paragrafo (11.2.1) a [p. 131 modifica]pagina 173, usando altri metodi; qui vogliamo solo vedere come, partendo dal dato di fatto consistente nell’osservazione effettiva di N eventi in un singolo esperimento, si possa ricavare un limite superiore sui possibili valori di S.

Fissato arbitrariamente un valore della probabilità , si tratta di trovare il valore per il quale la probabilità di osservare un numero di eventi non superiore ad N vale proprio : vale a dire, risolvere rispetto a l’equazione

;

e diremo poi di poter affermare che con un livello di confidenza . Il significato esatto della frase è che, se risultasse realmente , in una frazione pari almeno ad di esperimenti analoghi a quello i cui risultati stiamo esaminando ci aspetteremmo di ottenere al massimo N eventi come in esso.

Le cose si complicano in presenza di processi fisici che possono produrre risultati che simulano il segnale: processi fisici che indicheremo col nome complessivo di fondo. Se il fondo è presente, se è inoltre indipendente dal segnale e se segue la distribuzione di Poisson con valore medio noto F, già sappiamo che la probabilità di osservare N eventi in tutto tra fondo e segnale segue ancora la distribuzione di Poisson, con valore medio :

.

Se sono stati realmente osservati N eventi, si può ancora determinare un limite superiore per S; questo calcolando il valore per il quale la probabilità di osservare un numero di eventi (tra fondo e segnale) non superiore a N e condizionato all’avere ottenuto un numero di eventi di fondo che non può superare N vale una quantità predeterminata . Insomma, si tratta di risolvere, rispetto a , l’equazione

; (8.20)

e, con lo stesso significato della frase prima evidenziato, potremo allora affermare che risulta con un livello di confidenza .

Nella figura 8g, che è tratta dal libretto pubblicato annualmente dal “Particle Data Group” (vedi la bibliografia), si possono trovare già calcolate e rappresentate da curve continue le soluzioni dell’equazione (8.20) relative ad un livello di confidenza fisso del 90%. [p. 132 modifica]
Figura 8g - I limiti superiori sul segnale, ad un livello di confidenza fisso , in presenza di fondo noto.