Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5.7

by Maurizio Loreti

8.5.7 Applicazione: segnale e fondo

../8.5.6 ../8.6 IncludiIntestazione 30 agosto 2022 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

8.5.7 Applicazione: segnale e fondo

◄

8.5.6

8.6

►

8.5.7 Applicazione: segnale e fondo

Supponiamo di osservare sperimentalmente un processo fisico, per il quale il numero di eventi s che potrebbero presentarsi in un intervallo temporale prefissato (eventi di segnale) segua una distribuzione di Poisson con valore medio S, e che indicheremo col simbolo $P(s;S)$;

$\Pr(s)\;=\;P(s;S)\;=\;{\frac {S^{s}}{s!}}\,e^{-S}$:

in generale $S$ è ignoto, e ci si propone appunto di determinarlo dall’esperimento. Questo problema verrà poi trattato anche nel paragrafo (11.2.1) a pagina 173, usando altri metodi; qui vogliamo solo vedere come, partendo dal dato di fatto consistente nell’osservazione effettiva di N eventi in un singolo esperimento, si possa ricavare un limite superiore sui possibili valori di S.

Fissato arbitrariamente un valore della probabilità $\epsilon$, si tratta di trovare il valore $S_{u}$ per il quale la probabilità di osservare un numero di eventi non superiore ad N vale proprio $\epsilon$: vale a dire, risolvere rispetto a $S_{u}$ l’equazione

$\sum _{s=0}^{N}P(s;S_{u})=\epsilon$;

e diremo poi di poter affermare che $S\leq S_{u}$ con un livello di confidenza $\epsilon$. Il significato esatto della frase è che, se risultasse realmente $S\leq S_{u}$, in una frazione pari almeno ad $\epsilon$ di esperimenti analoghi a quello i cui risultati stiamo esaminando ci aspetteremmo di ottenere al massimo N eventi come in esso.

Le cose si complicano in presenza di processi fisici che possono produrre risultati che simulano il segnale: processi fisici che indicheremo col nome complessivo di fondo. Se il fondo è presente, se è inoltre indipendente dal segnale e se segue la distribuzione di Poisson con valore medio noto F, già sappiamo che la probabilità di osservare N eventi in tutto tra fondo e segnale segue ancora la distribuzione di Poisson, con valore medio $F+S$:

$\Pr(N)\;\equiv \;P(N;F+S)\;=\;{\frac {\left(F+S\right)^{N}}{N!}}\,e^{-\left(F+S\right)}$.

Se sono stati realmente osservati N eventi, si può ancora determinare un limite superiore per S; questo calcolando il valore $S_{u}$ per il quale la probabilità di osservare un numero di eventi (tra fondo e segnale) non superiore a N e condizionato all’avere ottenuto un numero di eventi di fondo che non può superare N vale una quantità predeterminata $\epsilon$. Insomma, si tratta di risolvere, rispetto a $S_{u}$, l’equazione

${\frac {\sum \limits _{n=0}^{N}P(n;F+S_{u})}{\sum \limits _{f=0}^{N}P(f;F)}}=\epsilon$;

(8.20)

e, con lo stesso significato della frase prima evidenziato, potremo allora affermare che risulta $S\leq S_{u}$ con un livello di confidenza $\epsilon$.

Nella figura 8g, che è tratta dal libretto pubblicato annualmente dal “Particle Data Group” (vedi la bibliografia), si possono trovare già calcolate e rappresentate da curve continue le soluzioni dell’equazione (8.20) relative ad un livello di confidenza fisso del 90%.

---

Figura 8g - I limiti superiori sul segnale, ad un livello di confidenza fisso $\epsilon =90\%$, in presenza di fondo noto.

---

---