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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

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Figura 8g - I limiti superiori sul segnale, ad un livello di confidenza fisso $\epsilon =90\%$, in presenza di fondo noto.

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8.6 La distribuzione log-normale

Sia una variabile casuale y avente distribuzione normale con media $\mu$ e varianza $\sigma ^{2}$: la sua densità di probabilità sia insomma data dalla funzione

$g(y)\;=\;N(y;\mu ,\sigma )\;=\;{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(y-\mu \right)^{2}}$ ;

definiamo poi una nuova variabile casuale x attraverso la relazione

$x=e^{y}$

$\Longleftrightarrow$

$y=\ln x$

(la corrispondenza tra x ed y è ovviamente biunivoca). Il dominio di definizione della x è il semiasse $x>0$ e, in base alla (6.15), la sua densità di probabilità $f(x)$ sarà data da

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {1}{x}}\,e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(\ln x-\mu \right)^{2}}$.

Questa funzione di frequenza si chiama log-normale; sfruttando l’identi-