Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5.6

by Maurizio Loreti

8.5.6 Esempio: l'osservazione di un quark isolato

../8.5.5 ../8.5.7 IncludiIntestazione 30 agosto 2022 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

8.5.6 Esempio: l'osservazione di un quark isolato

◄

8.5.5

8.5.7

►

8.5.6 Esempio: l’osservazione di un quark isolato

Un esempio classico di applicazione delle formule precedenti è la discussione di un articolo del 1969¹ in cui veniva annunciata l’osservazione di un quark isolato; l’esperienza ivi descritta consisteva nell’analizzare foto esposte in una camera a nebbia, attraversata da un fascio di particelle (aventi carica unitaria) che generavano tracce con un numero medio di gocce per unità di lunghezza $\alpha =229$: su $55^{.}000$ tracce osservate ce ne era una con un numero di gocce per unità di lunghezza $n=110$.

Questa traccia apparteneva indiscutibilmente al fascio di particelle; la probabilità che venisse osservato un numero di gocce per unità di lunghezza pari (o inferiore) a 110, se il fenomeno è descritto da una distribuzione di Poisson con media 229, è data da

$\Pr(n\leq 110)=\sum _{k=0}^{110}{\frac {229^{k}}{k!}}\,e^{-229}\;\approx \;1.6\times 10^{-18}$

e risulta ben inferiore (per 13 ordini di grandezza!) alla frequenza osservata $f=1/55^{.}000\approx 2\times 10^{-5}$. Per questo motivo gli autori sostenevano di avere osservato una particella con carica frazionaria (un quark), e che causava in conseguenza una ionizzazione assai inferiore alle altre.

Una prima obiezione² fu che, in ogni urto elementare tra le particelle del fascio e le molecole di gas della camera, vengono generati in media $\nu =4$ prodotti ionizzati indipendenti: e quindi 4 gocce. Il numero medio effettivo di urti per unità di lunghezza era $229/4=57.25$, mentre la traccia osservata ne aveva invece $\lambda =110/4=27.5$; la probabilità di ottenere, per motivi puramente casuali, una fluttuazione almeno pari a quella osservata doveva essere quindi calcolata come probabilità di avere meno di 28 eventi da una distribuzione di Poisson con valore medio 57.25, che vale

$\Pr(n\leq 110)\;=\;\sum _{k=0}^{27}{\frac {57.25^{k}}{k!}}\,e^{-57.25}\;\approx \;6.7\times 10^{-6}$

ed è quindi assai maggiore di quanto venisse ipotizzato all’inizio dai due autori (pur mantenendosi più di 33 volte superiore alla frequenza osservata).

L’analisi del fenomeno è però ancora più complessa³: il numero u di urti elementari per unità di lunghezza segue la distribuzione di Poisson con valore medio $\lambda =57.25$, ed ogni urto genera un numero di gocce che non è costante, ma segue anch’esso la distribuzione di Poisson con valore medio $\nu =4$; quindi il numero complessivo di gocce segue una legge di distribuzione che è quella composta di Poisson.

La probabilità di osservare k gocce per unità di lunghezza è quindi

$\Pr(k)\;=\;\sum _{u=0}^{\infty }\left[{\frac {(u\nu )^{k}}{k!}}\,e^{-u\nu }\cdot {\frac {\lambda ^{u}}{u!}}e^{-\lambda }\right]$,

e la probabilità cercata vale

$\Pr(k\leq 110)\;=\;\sum _{k=0}^{110}\Pr(k)\;\approx \;4.7\times 10^{-5}$

(ben compatibile quindi con quanto osservato).

Note

1. McCusker e Cairns: Evidence of quarks in air-shower cores; Phys. Rev. Lett. 23 (1969), pagg. 658-659.
2. Adair e Kasha: Analysis of some results of quark searches; Phys. Rev. Lett. 23 (1969), pagg. 1355-1358.
3. Eadie, Drijard, James, Roos e Sadoulet: Statistical Methods in Experimental Physics; North-Holland Publishing Co. (1971), pag. 53.