Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.6

by Maurizio Loreti

8.6 La distribuzione log-normale

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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8.6 La distribuzione log-normale

Sia una variabile casuale y avente distribuzione normale con media $\mu$ e varianza $\sigma ^{2}$: la sua densità di probabilità sia insomma data dalla funzione

$g(y)\;=\;N(y;\mu ,\sigma )\;=\;{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(y-\mu \right)^{2}}$ ;

definiamo poi una nuova variabile casuale x attraverso la relazione

$x=e^{y}$

$\Longleftrightarrow$

$y=\ln x$

(la corrispondenza tra x ed y è ovviamente biunivoca). Il dominio di definizione della x è il semiasse $x>0$ e, in base alla (6.15), la sua densità di probabilità $f(x)$ sarà data da

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {1}{x}}\,e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(\ln x-\mu \right)^{2}}$.

Questa funzione di frequenza si chiama log-normale; sfruttando l’identità

${\frac {\left(y-\mu -k\sigma ^{2}\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}-k\mu -{\frac {1}{2}}k^{2}\sigma ^{2}$	$={\frac {1}{2\sigma ^{2}}}{\Bigl (}y^{2}+\mu ^{2}+k^{2}\sigma ^{4}-2\mu y$
	$-2k\sigma ^{2}y+2k\mu \sigma ^{2}-2k\mu \sigma ^{2}-k^{2}\sigma ^{4}{\Bigr )}$
	$={\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left[\left(y^{2}-2\mu y+\mu ^{2}\right)-2k\sigma ^{2}y\right]$
	$={\frac {\left(y-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}-ky$

se ne possono facilmente calcolare i momenti rispetto all’origine, che valgono

$\lambda _{k}$	$=\int _{0}^{+\infty }\!x^{k}\,f(x)\,\mathrm {d} x$
	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{ky}\,g(y)\,\mathrm {d} y$
	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\!{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-\left[{\frac {\left(y-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}-ky\right]}\,\mathrm {d} y$
	$=e^{\left(k\mu +{\frac {1}{2}}k^{2}\sigma ^{2}\right)}\int _{-\infty }^{+\infty }\!{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {\left(y-\mu -k\sigma ^{2}\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\mathrm {d} y$
	$=e^{\left(k\mu +{\frac {1}{2}}k^{2}\sigma ^{2}\right)}$

(infatti l’integrale è quello di una distribuzione normale avente $\mu +k\sigma ^{2}$ come valore medio e $\sigma$ come varianza — e vale dunque uno).

In particolare

$E(x)\equiv \lambda _{1}=e^{\left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)}$

$E(x^{2})\equiv \lambda _{2}=e^{\left(2\mu +2\sigma ^{2}\right)}$

${\text{Var}}(x)=\lambda _{2}-{\lambda _{1}}^{2}\;=\;e^{\left(2\mu +\sigma ^{2}\right)}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)$

Nella figura 8h ci sono i grafici di alcune distribuzioni log-normali corrispondenti a vari valori dei parametri $\mu$ e $\sigma$ della funzione normale di partenza (non della funzione di frequenza esaminata); per finire notiamo che, analogamente a quanto ricavato nel teorema di pagina 103 per quanto attiene alle somme, si può dimostrare che il prodotto di variabili casuali log-normali ed indipendenti debba seguire una distribuzione log-normale.

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Figura 8h - La distribuzione log-normale, per vari valori dei parametri ($\mu$ e $\sigma$) della funzione normale di partenza.

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