Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.6

8.6 La distribuzione log-normale

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8.6 La distribuzione log-normale

Sia una variabile casuale y avente distribuzione normale con media e varianza : la sua densità di probabilità sia insomma data dalla funzione

 ;

definiamo poi una nuova variabile casuale x attraverso la relazione

(la corrispondenza tra x ed y è ovviamente biunivoca). Il dominio di definizione della x è il semiasse e, in base alla (6.15), la sua densità di probabilità sarà data da

.

Questa funzione di frequenza si chiama log-normale; sfruttando l’identi[p. 133 modifica]

se ne possono facilmente calcolare i momenti rispetto all’origine, che valgono

(infatti l’integrale è quello di una distribuzione normale avente come valore medio e come varianza — e vale dunque uno).

In particolare

Nella figura 8h ci sono i grafici di alcune distribuzioni log-normali corrispondenti a vari valori dei parametri e della funzione normale di partenza (non della funzione di frequenza esaminata); per finire notiamo che, analogamente a quanto ricavato nel teorema di pagina 103 per quanto attiene alle somme, si può dimostrare che il prodotto di variabili casuali log-normali ed indipendenti debba seguire una distribuzione log-normale. [p. 134 modifica]
Figura 8h - La distribuzione log-normale, per vari valori dei parametri ( e ) della funzione normale di partenza.