Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.2.1

11.2.1 Un esempio di stima sufficiente

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11.2 11.3

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11.2.1 Un esempio di stima sufficiente

Supponiamo di avere un campione di determinazioni indipendenti di una variabile che segua la distribuzione di Poisson; le probabilità dei differenti valori sono date dalla (8.14), e dipendono da un unico parametro: il valore medio della distribuzione, . La funzione di verosimiglianza è la

(11.6)

[p. 174 modifica]Nei passaggi, per due volte si è moltiplicato e diviso per una stessa quantità non nulla: prima per e poi per .

La stima di massima verosimiglianza si trova annullando la derivata della (11.6); che, a meno di un fattore costante, è della forma

per cui

e quindi la stima cercata è

Il primo termine dell’espressione finale (11.6) per la funzione di verosimiglianza è la probabilità che la variabile casuale

abbia un determinato valore: infatti, come già sappiamo dal paragrafo (8.5), segue la distribuzione di Poisson con valore medio . Notiamo anche che, avendo un valore costante noto a priori, coincide con : il secondo termine deve quindi essere la probabilità che i dati osservati valgano condizionata dal fatto che la loro somma vale ; ma, non dipendendo questo termine da , tale probabilità è la stessa qualunque sia il parametro.

Qualunque sia , una volta noto il suo valore le sono distribuite allo stesso modo: riassume insomma tutta l’informazione contenuta nei dati, ed è quindi per definizione una stima sufficiente del parametro. In effetti, se la probabilità dei valori una volta nota non dipende dal parametro, questo implica che qualunque funzione dei dati ha probabilità (condizionata) che gode della stessa proprietà. Citiamo senza dimostrarlo, in proposito, il seguente

Teorema: è una stima sufficiente di se e solo se la funzione di verosimiglianza è fattorizzabile nella forma