Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.5.3

11.5.3 Range di una popolazione uniforme

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11.5.2 11.5.4

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11.5.3 Range di una popolazione uniforme

Sia una variabile casuale distribuita uniformemente tra un estremo inferiore noto, che senza perdere in generalità possiamo supporre sia lo zero, ed un estremo superiore ignoto ; in questo caso dobbiamo innanzi tutto osservare sia che il dominio di definizione della funzione di frequenza della dipende dal parametro che dobbiamo stimare, sia che e la sua derivata prima hanno dei punti di discontinuità: e non possiamo in conseguenza garantire a priori né la consistenza, né la massima efficienza asintotica del metodo usato.

Comunque, introducendo la cosiddetta funzione gradino (o step function) , definita attraverso la

la funzione di frequenza si può anche scrivere

e la funzione di verosimiglianza

.

Come sappiamo, ammesso noto il valore del parametro essa rappresenta la densità di probabilità di ottenere gli valori ; se invece si considera come l’unica variabile e si ammettono noti gli valori , rappresenta la densità di probabilità che un dato abbia prodotto i dati osservati. Ma in quest’ultimo caso , e la funzione di verosimiglianza si riduce alla

(11.15)
[p. 192 modifica]che è nulla per e monotona strettamente decrescente per ; ed ammette quindi un unico massimo all’estremo del dominio, che vale
. (11.16)

Valore medio e varianza della stima valgono, come già sappiamo dal paragrafo 8.1.3,

e

e quindi la stima è consistente, ma non imparziale; una stima imparziale è invece

,

di varianza ovviamente superiore per un fattore . È anche ovvio, dalla forma sia della (11.15) che della (11.16), che è una stima sufficiente di .