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11.5 - Altre applicazioni della stima di massima verosimiglianza

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Questo era già noto: entrambe le stime, come sappiamo, sono consistenti; però la seconda non è imparziale (ma può essere resa tale moltiplicandola per un opportuno fattore di correzione).

In sostanza il fatto che la varianza della popolazione abbia un determinato valore (come assunto nel paragrafo 11.3) non cambia il fatto che la nostra migliore stima del valore medio della popolazione sia comunque data dalla media aritmetica del campione: vedremo poi nel paragrafo 12.1 che il valore medio del campione e la sua varianza sono variabili casuali statisticamente indipendenti tra loro.

11.5.3 Range di una popolazione uniforme

Sia una variabile casuale $x$ distribuita uniformemente tra un estremo inferiore noto, che senza perdere in generalità possiamo supporre sia lo zero, ed un estremo superiore ignoto $A$; in questo caso dobbiamo innanzi tutto osservare sia che il dominio di definizione della funzione di frequenza $f(x)$ della $x$ dipende dal parametro che dobbiamo stimare, sia che $f(x)$ e la sua derivata prima hanno dei punti di discontinuità: e non possiamo in conseguenza garantire a priori né la consistenza, né la massima efficienza asintotica del metodo usato.

Comunque, introducendo la cosiddetta funzione gradino (o step function) $S(x)$, definita attraverso la

${\begin{cases}S(x)=0&\qquad (x<0)\\[1ex]S(x)=1&\qquad (x\geq 0)\end{cases}}$

la funzione di frequenza $f(x)$ si può anche scrivere

$f(x)\;=\;{\frac {1}{A}}\;S(x)\;S(A-x)$

e la funzione di verosimiglianza

${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N};A)={\frac {1}{A^{N}}}S(x_{\min })\;S(A-x_{\max })$.

Come sappiamo, ammesso noto il valore del parametro $A$ essa rappresenta la densità di probabilità di ottenere gli $N$ valori $x_{i}\in [-\infty ,+\infty ]$; se invece si considera $A$ come l’unica variabile e si ammettono noti gli $N$ valori $x_{i}$, rappresenta la densità di probabilità che un dato $A$ abbia prodotto i dati osservati. Ma in quest’ultimo caso $S(x_{\min })\equiv 1$, e la funzione di verosimiglianza si riduce alla

${\mathcal {L}}(A)={\frac {1}{A^{N}}}\;S(A-x_{\max })$

(11.15)