Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.5.2

by Maurizio Loreti

11.5.2 Media e varianza di una popolazione normale

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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11.5.2 Media e varianza di una popolazione normale

Abbiamo già visto nel paragrafo 11.3 che, ammessa nota la varianza $\sigma ^{2}$ di una popolazione normale, il suo valore medio $\mu$ ha come stima di massima verosimiglianza la media aritmetica ${\bar {x}}$ di un campione di stime indipendenti; vogliamo ora stimare contemporaneamente sia $\mu$ che $\sigma$ dai dati, usando sempre il metodo della massima verosimiglianza.

La densità di probabilità vale

$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

ed il suo logaritmo

$\ln f(x;\mu ,\sigma )\;=\;-\ln \sigma -\ln {\sqrt {2\pi }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}$.

Il logaritmo della funzione di verosimiglianza è

$\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )\;=\;\sum _{i=1}^{N}\ln f(x_{i};\mu ,\sigma )$

e dunque

$\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )\;=\;-N\ln \sigma -N\,\ln {\sqrt {2\pi }}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}$;

e le sue derivate parziali prime sono

${\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln {\mathcal {L}}\;=\;{\frac {1}{\sigma ^{2}}}\,\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)\;=\;{\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}-N\mu \right)$

e

${\frac {\partial }{\partial \sigma }}\ln {\mathcal {L}}\;=\;-{\frac {N}{\sigma }}+{\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}\;=\;{\frac {1}{\sigma ^{3}}}\,\left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}-N\sigma ^{2}\right].$

Il sistema ottenuto annullando le due derivate parziali prime ha l'unica soluzione (in effetti un massimo) data da

${\widehat {\mu }}={\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$

e

${\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}$.

Questo era già noto: entrambe le stime, come sappiamo, sono consistenti; però la seconda non è imparziale (ma può essere resa tale moltiplicandola per un opportuno fattore di correzione).

In sostanza il fatto che la varianza della popolazione abbia un determinato valore (come assunto nel paragrafo 11.3) non cambia il fatto che la nostra migliore stima del valore medio della popolazione sia comunque data dalla media aritmetica del campione: vedremo poi nel paragrafo 12.1 che il valore medio del campione e la sua varianza sono variabili casuali statisticamente indipendenti tra loro.