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Capitolo 11 - Stime di parametri

che è nulla per $A<x_{\max }$ e monotona strettamente decrescente per $A\geq x_{\max }$; ed ammette quindi un unico massimo all’estremo del dominio, che vale

${\hat {A}}=x_{\max }$.

(11.16)

Valore medio e varianza della stima valgono, come già sappiamo dal paragrafo 8.1.3,

$E({\hat {A}})\;=\;A^{*}-{\frac {A^{*}}{N+1}}\;=\;{\frac {N}{N+1}}\,A^{*}$

e

${\text{Var}}({\hat {A}})\;=\;{\frac {N}{(N+1)^{2}\,(N+2)}}\,\left(A^{*}\right)^{2}$

e quindi la stima è consistente, ma non imparziale; una stima imparziale è invece

${\bar {A}}\;=\;{\frac {N+1}{N}}\,x_{\max }\;=\;x_{\max }\,\left(1+{\frac {1}{N}}\right)$,

di varianza ovviamente superiore per un fattore $(1+1/N)^{2}$. È anche ovvio, dalla forma sia della (11.15) che della (11.16), che ${\hat {A}}$ è una stima sufficiente di $A^{*}$.

11.5.4 Stima della vita media di una particella

Nel processo di decadimento di una particella instabile, indichiamo con $\tau$ l’incognita vita media e con $t$ i tempi (propri) di decadimento osservati; tempi che (come sappiamo) seguono la distribuzione esponenziale:

$f(t;\tau )={\frac {1}{\tau }}\,e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

$\Longrightarrow$

${\begin{cases}E(t)=\tau \\[2ex]{\text{Var}}(t)=\tau ^{2}\end{cases}}$

Ammettendo per semplicità che l’osservazione avvenga con una efficienza unitaria, o, in altre parole, che tutti i decadimenti vengano osservati, la funzione di verosimiglianza si scrive

${\mathcal {L}}\;=\;\prod _{k=1}^{N}f(t_{k};\tau )\;=\;{\frac {1}{\tau ^{N}}}\,e^{-{\frac {1}{\tau }}\sum _{k}t_{k}}$,