Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.5.4

by Maurizio Loreti

11.5.4 Stima della vita media di una particella

../11.5.3 ../12 IncludiIntestazione 1 settembre 2022 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

11.5.4 Stima della vita media di una particella

◄

11.5.3

12

►

11.5.4 Stima della vita media di una particella

Nel processo di decadimento di una particella instabile, indichiamo con $\tau$ l’incognita vita media e con $t$ i tempi (propri) di decadimento osservati; tempi che (come sappiamo) seguono la distribuzione esponenziale:

$f(t;\tau )={\frac {1}{\tau }}\,e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

$\Longrightarrow$

${\begin{cases}E(t)=\tau \\[2ex]{\text{Var}}(t)=\tau ^{2}\end{cases}}$

Ammettendo per semplicità che l’osservazione avvenga con una efficienza unitaria, o, in altre parole, che tutti i decadimenti vengano osservati, la funzione di verosimiglianza si scrive

${\mathcal {L}}\;=\;\prod _{k=1}^{N}f(t_{k};\tau )\;=\;{\frac {1}{\tau ^{N}}}\,e^{-{\frac {1}{\tau }}\sum _{k}t_{k}}$,

ed il suo logaritmo vale

$\ln({\mathcal {L}})\;=\;-N\ln \tau -{\frac {1}{\tau }}\sum _{k=1}^{N}t_{k}=-N\left({\frac {\bar {t}}{\tau }}+\ln \tau \right)$.

Derivando rispetto al parametro e cercando gli estremanti,

${\frac {\mathrm {d} \ln({\mathcal {L}})}{\mathrm {d} \tau }}\;=\;{\frac {N}{\tau ^{2}}}({\bar {t}}-\tau )=0$;

e quindi l’unico estremante della funzione di verosimiglianza si ha per

${\hat {\tau }}={\bar {t}}$.

Se calcoliamo la derivata seconda,

${\frac {\mathrm {d} ^{2}\ln({\mathcal {L}})}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}={\frac {N}{\tau ^{3}}}\left(2{\bar {t}}-\tau \right)$

essa, calcolata per $t={\bar {t}}$ è negativa; quindi l’unico estremante è effettivamente un punto di massimo.

La soluzione di massima verosimiglianza ${\hat {\tau }}={\bar {t}}$ è consistente ed imparziale (essendo il valore medio del campione); di varianza minima (per il teorema di Cramér-Rao); inoltre la stima è sufficiente (riassume insomma tutta l’informazione del campione).

Normalmente l’efficienza non è però unitaria; ad esempio il nostro rivelatore può avere dimensioni confrontabili col cammino medio delle particelle, che possono quindi uscirne prima di decadere. In questo caso, visto che i decadimenti possono essere stati osservati solo essendo avvenuti all’interno di un intervallo compreso tra un valore temporale minimo (eventualmente nullo) ed uno massimo (ad esempio dipendente dalla posizione del decadimento, dalla direzione di emissione dei suoi prodotti, dalle dimensioni del rivelatore, ...) — intervallo differente per ognuno dei decadimenti — dovremo costruire la funzione di verosimiglianza considerando le probabilità di osservazione condizionate dall’essere il decadimento $i$-esimo avvenuto tra un certo $(t_{\min })_{i}$ ed un certo $(t_{\max })_{i}$:

${\mathcal {L}}=\prod _{i=1}^{N}\left[{\frac {{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t_{i}}{\tau }}}}{e^{-{\frac {(t_{\min })_{i}}{\tau }}}-e^{-{\frac {(t_{\max })_{i}}{\tau }}}}}\right]$

(11.17)

Il denominatore della (11.17) rappresenta infatti la probabilità di decadere tra il tempo $t_{\min }$ e quello $t_{\max }$, come è immediato ricavare dalla funzione di distribuzione della densità di probabilità esponenziale, che vale

$F(t)\;=\;\int _{0}^{t}{\frac {1}{\tau }}\,e^{-{\frac {x}{\tau }}}\,\mathrm {d} x=1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}$;

dalla (11.17) si ricava poi

$\ln({\mathcal {L}})=-N\ln \tau +\sum _{i=1}^{N}\left\{-{\frac {t_{i}}{\tau }}-\ln \left[e^{-{\frac {(t_{\min })_{i}}{\tau }}}-e^{-{\frac {(t_{\max })_{i}}{\tau }}}\right]\right\}$

e, posto per brevità

$\varphi _{i}(\tau )={\frac {(t_{\min })_{i}^{2}\cdot e^{-{\frac {(t_{\min })_{i}}{\tau }}}-(t_{\max })_{i}^{2}\cdot e^{-{\frac {(t_{\max })_{i}}{\tau }}}}{e^{-{\frac {(t_{\min })_{i}}{\tau }}}-e^{-{\frac {(t_{\max })_{i}}{\tau }}}}}$

si arriva alla

${\frac {\mathrm {d} \ln({\mathcal {L}})}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {1}{\tau ^{2}}}\left\{\sum _{i=1}^{N}{\bigl [}t_{i}-\varphi _{i}(\tau ){\bigr ]}-N\tau \right\}=0$

che bisogna risolvere in modo numerico. Non si può inoltre in questo caso garantire che le proprietà precedentemente delineate per ${\hat {\tau }}$ (consistenza, normalità, efficienza, ...) siano ancora valide, almeno per $N$ finito. Può darsi che la funzione di verosimiglianza ammetta più di un massimo, e non si sa a priori quale di essi convergerà verso $\tau ^{*}$; e, per finire, l’errore della stima deve essere ricavato dalla concavità della funzione di verosimiglianza, supposta approssimativamente normale.