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(6)

${\frac {A_{0}}{\lambda '-a_{0}}}=\rho c_{0},$

${\frac {A_{1}}{\lambda '-a_{1}}}=\rho c_{1},$

${\frac {A_{2}}{\lambda '-a_{2}}}=\rho c_{2},$

${\frac {A_{3}}{\lambda '-a_{3}}}=\rho c_{3},$

dove $\rho$ è un fattore indeterminato. Queste equazioni stabiliscono quattro relazioni necessarie fra le 10 quantità

$A_{0},A_{1},A_{2},A_{3};\;a_{1},a_{2},a_{3};\;\lambda ',\rho ;$

ma, stante l’arbitrio ch’esse lasciano ancor sussistere rispetto a 6 di queste, non si capisce a prima giunta come la conica inviluppata dalla retta variabile (5) possa dipendere da un solo parametro essenziale, possa cioè appartenere soltanto alla schiera semplicemente infinita delle coniche inscritte nel quadrilatero

(7)

$u_{0}=0,$

$u_{1}=0,$

$u_{2}=0,$

$u_{3}=0.$

Per ispiegare questo fatto eliminiamo $u_{0}$ fra le due equazioni (5) e (5)’. L’equazione risultante, divisa per $\lambda -\lambda '$, è, in virtù delle formole (6),

${\frac {c_{1}(a_{1}-a_{0})u_{1}}{\lambda -a_{1}}}+{\frac {c_{2}(a_{2}-a_{0})u_{2}}{\lambda -a_{2}}}+{\frac {c_{3}(a_{3}-a_{0})u_{3}}{\lambda -a_{3}}}=0$.

Se del primo membro di quest’equazione, liberato dai denominatori e considerato come funzione di 2° grado rispetto a $\lambda$, si forma il discriminante e si annulla, si trova un’equazione che è riducibile alla forma seguente:

${\sqrt {c_{1}(a_{1}-a_{0})(a_{2}-a_{3})}}+{\sqrt {c_{2}(a_{2}-a_{0})(a_{2}-a_{1})}}$$=0$

${\sqrt {c_{1}(a_{1}-a_{0})(a_{2}-a_{3})}}$$+{\sqrt {c_{3}(a_{3}-a_{0})(a_{1}-a_{2})}}=0$

e che è l’equazione della conica inviluppo. Ora qualunque sieno le quantità $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, si ha sempre l’identità

$(a_{1}-a_{0})(a_{2}-a_{3})+(a_{2}-a_{0})(a_{3}-a_{1})+(a_{3}-a_{0})(a_{1}-a_{2})=0$.

dunque l’equazione precedente contiene effettivamente un solo parametro essenziale, che potrebb’essere, per esempio, la quantità

${\frac {(a_{2}-a_{0})(a_{1}-a_{3})}{(a_{3}-a_{0})(a_{1}-a_{2})}}=(a_{0}a_{1}a_{2}a_{3})$,