Lezioni di analisi matematica/Capitolo 9/Paragrafo 63

by Guido Fubini

Capitolo 9 - Prime applicazioni del teorema della media

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 9 - Prime applicazioni del teorema della media

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§ 63. — Prime applicazioni del teorema della media.

α) Si può dimostrare semplicemente il teorema di Heine (pag. 135) per una funzione $f(x)$ definita in un intervallo $(a,b)$ nel caso che la sua derivata $f(x)$ sia limitata, che cioè esista una costante $H$ tale che $|f'(x)|<H$. Se $\epsilon >0$ è un numero arbitrario, sia <mahth>\alpha</math> un qualsiasi intervallo parziale di ampiezza superiore ad ${\frac {\epsilon }{H}}$. Siano $\gamma _{1},\gamma _{2}$ due punti di $\alpha$, ove la $f(x)$ assume il massimo e il minimo dei valori, che $f(x)$ assume in $\alpha$. L'oscillazione $f(\gamma _{1})-f(\gamma _{2})$ in $\alpha$ vale $(\gamma _{1}-\gamma _{2})f'(\gamma )$, dove $\gamma$ è un punto intermedio tra $\gamma _{1}$ e $\gamma _{2}$. Poichè $|\gamma _{1}-\gamma _{2}|\leq {\frac {\epsilon }{H}}$ e $|f'(y)|<H$, tale oscillazione non supera $\epsilon$.                                                                                                                        c. d. d.

β) La formola $f'(c)={\frac {f(a)-f(b)}{\varphi (a)-\varphi (b)}}\varphi '(c)$ diventa (se $\varphi '(c)\not =0$) ${\frac {f(b)-f(a)}{\varphi (b)-\varphi (a)}}={\frac {f'(c)}{\varphi (c)}}$. Se si suppone senz'altro $\varphi '(x)\not =0$ nei punti interni all'intervallo ($a,b$), allora soltanto nel punto (incognito) c sarà $\varphi '(c)\not =0$, ma sarà anche soddisfatta l'altra ipotesi iniziale $\varphi (a)\not =\varphi (b)$, esisterebbe, per il teorema di Rolle, almeno un punto $x$, interno all'intervallo, ove si avrebbe $\varphi '(x_{1})=0$.

Se $f(a)=\varphi (a)=0$, allora, posto $b=x,c=x_{1}$, se ne deduce:

${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}={\frac {f'(x_{1})}{\varphi '(x_{1})}}$          (1)

[$x_{1}$ appartenente all'intervallo $(a,x)$].

Cioè:

Se le funzioni continue e derivabili f (x), φ (x) sono nulle per x$=$a, e nei punti interni all'intervallo (a, x) la φ' (x) è differente da zero, allora il rapporto ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$ è uguale al rapporto delle derivata prime in un punto x₁ interno all'intervallo (a, x).

Al variare della $x$ in un intorno $\alpha$ di $a$, la $x_{1}$ percorrerà un certo insieme $\gamma$ di valori dello stesso intorno (cfr. Nota a pag. 200).

Se esiste il $\lim _{x=a}{\frac {f'(x)}{\varphi '(x)}}$ , esisterà anche il $\lim _{x_{1}=a}{\frac {f'(x_{1})}{\varphi _{(}x_{1}}}$, e quindi per la (1) esisterà anche il $\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$, cioè il limite del rapporto delle loro derivate prime $\mathrm {f'(x),\varphi '(x)}$.

Se anche le derivate prime di $f,\varphi$ sono nulle nel punto $a$ e se $\varphi ''\not =0$ quando $x\not =a$, potremo, applicando di nuovo lo stesso teorema, scrivere l'uguaglianza

${\frac {f'(x)}{\varphi '(x)}}={\frac {f''(x_{2})}{\varphi ''(x_{2})}}$

dove $x_{2}$ è un punto intermedio tra $a$ ed $x_{1}$ e quindi anche intermedio tra $a$ ed $x$.

Così continuando troviamo infine che, se esistono le derivata delle f, φ fino a quelle di ordine $\mathrm {n+1}$, se le $\mathrm {f,\varphi }$ e le prime loro n derivate sono nulle per $\mathrm {x=a}$ (mentre le $\mathrm {\varphi ',\varphi '',\cdots ,\varphi ^{(n)},\varphi ^{(n+1)}}$ sono differenti da zero per $\mathrm {x\not =a}$), allora

${\frac {f(x)}{\varphi (x)=}}={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{\varphi ^{(n+1)}(\xi )}}$,

dove $\xi$ è un punto intermedio tra a ed x.

Se ne deduce una celebre formola dovuta pure a Lagrange conservando le ipotesi fatte per $f(x)$ e ponendo $\varphi (x)=(x-a)^{n+1}$ col che le ipotesi fatte per $\varphi (x)$ risultano soddisfatte. Poichè $\varphi ^{(n+1)}(x)=\lfloor {n+1}$ si deduce il seguente teorema d'importanza fondamentale:

Se $\mathrm {f(x)}$ possiede le prime $\mathrm {n+1}$ derivate, e se $\mathrm {f(x)}$ insieme alle prime $\mathrm {n}$ derivate è nulla nel punto $\mathrm {a}$, allora

$f(x)={\frac {(x-a)^{n+1}}{\lfloor {n+1}}}f^{(n+1)}(\xi )$,

dove $\xi$ è un punto intermedio tra $\mathrm {a}$ ed $\mathrm {x}$.

Osservazione. Se ne deduce in tal caso

${\frac {1}{\lfloor {n+1}}}f^{(n+1)}(\xi )={\frac {f(x)}{(x-a)^{n-1}}}$.

Poichè $\lim _{x=a}\xi =a$ sarà, se $\mathrm {f^{(n+1)}(x)}$ è continua nel punto $\mathrm {a}$, e se $\mathrm {f(a)=f'(a)=...f^{(n)}(a)=0}$:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}={\frac {f^{(n+1)}(a)}{\lfloor {n+1}}}$.

Questa formola vale anche nella ipotesi che esista la $(n+1)^{esima}$ derivata di $\mathrm {f(x)}$ nel punto $\mathrm {a}$ e sia determinata e finita (senza che sia necessario ammetterne la continuità). Infatti si trova, come sopra,

${\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}={\frac {f^{(n)}(x_{1})}{\lfloor {(n+1)}(x_{1}-a)}}$ ($x_{1}$ intermedio tra $a$ ed $x$).

Poichè $f^{(n)}(a)=0$, sarà, posto $x_{1}-a=h$,

${\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}={\frac {1}{\lfloor {n+1}}}{\frac {f^{(n)}(a+h)-f^{(n)}(a)}{h}}$.

Da cui, passando al limite per $h=0$, si trae subito il teorema enunciato.

In particolare, poichè ${\frac {1}{\lfloor {n+1}}}$ è positivo, e poichè ${\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}$ ha, per $x$ abbastanza prossimo ad $a$, il segno del suo limite per $x=a$, se ne deduce che, per $x$ prossimo ad $a$, la ${\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}$ ha il segno di $f^{(n+1)}(a)$, se questa derivata è determinata e finita e se $f(a)=f'(a)=...=f^{(n)}(a)=0$.

Posto $x=a+h$, si vede che, per $h$ abbastanza piccolo, nelle nostre ipotesi coincidono i segni di ${\frac {f(a+h)}{h^{n+1}}}$ e di $f^{(n+1)}(a)$, cioè coincidono i segni di $f(a+h)$ e di $h^{n+1}f^{(n+1)}(a)$.

Noi abbiamo dato in questo paragrafo un procedimento per calcolare il limite di un quoziente in qualche caso, in cui non sono applicabili i teoremi del § 35, pag. 115-116. Ad altri

casi analoghi sono applicabili le seguenti osservazioni.

OSSERVAZIONI.

1° Si è dimostrato che se $\lim _{x=a}f(x)=\lim _{x=a}\varphi (x)=0$, e se esiste il $\lim _{x=a}{\frac {\varphi '(x)}{f'(x)}}$ esiste anche il $\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$, ed è uguale al precedente¹. Un teorema analogo vale se $\lim _{x=a}f(x)=\lim _{x=a}\varphi (x)=0$. Lasciando ai trattati di calcolo la dimostrazione completa (piuttosto delicata) di tale teorema, noi la esporremo nell'ipotesi che $\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$ esista, sia finito e diverso da zero. Poichè nelle nostre ipotesi è $\lim _{x=a}{\frac {1}{f(x)}}=\lim _{x=a}{\frac {1}{\varphi (x)}}=0$, sarà $\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}=\lim _{x=a}{\frac {\left({\frac {1}{\varphi (x)}}\right)}{\left({\frac {1}{f(x)}}\right)}}=\lim _{x=a}{\frac {\left({\frac {1}{\varphi (x)}}\right)'}{\left({\frac {1}{f(x)}}\right)'}}=\lim _{x=a}{\frac {\varphi '(x)}{f'(x)}}\left[{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}\right]^{2}={\frac {\varphi '(x)}{f'(x)}}\left\{\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}\right\}^{2}$. Moltiplicando primo e ultimo membro per $\left\{\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}\right\}^{2}$ si ottiene appunto $\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}=\lim _{x=a}{\frac {f'(x)}{\varphi '(x)}}$.

2° Questi teoremi valgono anche per $a=\infty$, cioè se i termini della frazione tendono per $x=\infty$ entrambi a $0$, oppure ad $\infty$. Posto infatti $x={\frac {1}{z}}$, si ha:

${\begin{aligned}\lim _{x=\infty }{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}&=\lim _{z=0}{\frac {f\left({\frac {1}{z}}\right)}{\varphi \left({\frac {1}{z}}\right)}}=\lim _{z=0}{\frac {\left[f\left({\frac {1}{z}}\right)\right]'_{z}}{\left[\varphi \left({\frac {1}{z}}\right)\right]'_{z}}}\\&=\lim _{z=0}{\frac {f'\left({\frac {1}{z}}\right)\left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}{\varphi '\left({\frac {1}{z}}\right)\left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}}=\lim _{z=0}{\frac {f'\left({\frac {1}{z}}\right)}{\varphi '\left({\frac {1}{z}}\right)}}=\lim _{x=\infty }{\frac {f'(x)}{\varphi '(x)}}\end{aligned}}$

3° Talvolta con questi teoremi si riesce a calcolare il limite di un prodotto che si presenta nella forma $0\cdot \infty$, ossia il limite del prodotto di due fattori $f(x)$, $\varphi (x)$ di cui uno tende a zero, l'altro a $\infty$. Basterà scrivere il prodotto $f(x)\varphi (x)$ nella forma ${\frac {f(x)}{\left({\frac {1}{\varphi (x)}}\right)}}={\frac {\varphi (x)}{\left({\frac {1}{f(x)}}\right)}}$, e poi applicare a questi quozienti il metodo precedente.

4° Si deve talvolta trovare il limite di una potenza, che sì presenta nella forma $1^{\infty }$, oppure $0^{0}$, oppure $+\infty ^{0}$, ecc., vale a dire di una potenza, la cui base tende ad $1$, l'esponente ad $\infty$, oppure di cui base ed espanente tendono entrambi a zero, ecc. In tal caso si cerca dapprima col metodo dell'esercizio 3° il limite $L$ del logaritmo di una tale potenza. Il liniite della potenza sarà $e^{L}$.

5° Si deve talvolta cercare il limite di una differenza $f(x)-\varphi (x)$, che sì presenta nella forma $\infty -\infty$, perchè entrambi i termini tendono ad $\infty$. In tal caso si scrive $f(x)-\varphi (x)$ nella forma di un prodotto $f(x)\left[1-{\frac {\varphi (x)}{f(x)}}\right]=\varphi (x)\left[{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}-1\right]$ cercando poi di applicare i metodi precedenti. γ) Interpolazione.

Capita molte volte di dover trovare un numero $\varphi (x)$ approssimato del valore che $f(x)$ assume nei punti $x$ di un intervallo $(a,b)$, quando si conoscano i valori $f(a)$ ed $f(b)$ che la $f(x)$ assume nei punti $a,b$. Ciò capita in pratica specialmente per il calcolo delle funzioni logaritmiche e trigonometriche: così p. es., se $f(x)=\log x$ se dalle tavole logaritmiche sono fati i valori di $\log 1000$ e di $\log 1001$, e si deve scrivere un valore approssimato del logaritmo di $1000,5$.

La formola, p. es., che si usa, come è ben noto, è la seguente:

$\varphi (x)=f(a)+{\frac {x-a}{b-a}}[f(b)-f(a)]$

(dove, nel caso che si ricorra a tavole numeriche, la $f(b)-f(a)$ dicesi la differenza tavolare).

Quale errore si commette usando tale formola, cioè scrivendo $\varphi (x)$ al posto di $f(x)$.

Si noti che in virtù del teorema della media,

$\varphi (x)=f(a)+{\frac {x-a}{b-a}}[f(b)-f(a)]=f(a)+(x+a)f'(c)=$

$=f(b)+{\frac {x-b}{a-b}}[f(a)-f(b)]=f(b)+(x-b)f'(c)$

dove $c$ è un punto intermedio tra $a$ e $b$. Così pure in virtù del teorema della media ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=f'(\xi )$, cosicchè $f(x)=f(a)+(x-a)f'(\xi )$; e similmente

$f(x)=f(b)+(x-b)f'(x)$

dove $\xi$ è un punto intermedio tra $a/math>ed<math>x$ e quindi , anche tra $a$ e $b$, ed $\eta _{1}$ è un altro punto dell'intervallo $(a,b$.

Quindi l'errore $|f(x)-\varphi (x)|$ commesso scrivendo $\varphi (x)$ al posto di $f(x)$ vale $|x-a||f'(c)-f'(\xi )|=|x-b||f'(c)-f'(\eta )|$. E, se $f(x)$ possiede derivata seconda, tale errore vale $|(x-a)(c-\xi )f''(\xi _{1})|=|(x-b)(c-\eta )f''(\eta _{1})|$ dove, secondo il teorema della media, $\xi$, è intermedio tra $c$ ed $\xi$, mentre $\eta$, è intermedio tra $c$ ed $\eta$. Cosicchè $\xi _{1}$ ed $\eta _{1}$ sono punti di $(a,b)$. Se dunque $|f'(x)|$ in $(a,b)$ non supera la costante $M$, allora, poichè $|c-\xi |<|b-a|{\text{e}}|(c-\eta )|<|b-a|$, tale errore non supera $|(x-a)(b-a)M|$, nè $|(x-b)(b-a)M|$ e quindi neanche il più piccolo di questi due che è certo non superiore a ${\frac {1}{2}}(b-a)^{2}M$.

Il lettore applichi questo risultato alle usuali tavole logaritmiche.

Oss. Si noti che, sostituendo la $\varphi (x)$ alla $f(x)$, si è sostituito alla $f(x)$ un polinomio di primo grado che in due punti (nei punti $x=a,x=b$) assume lo stesso valore di $f(x)$. Si potrebbe generalizzare il metodo, sostituendo, p. es., ad $f(x)$ un polinomio di grado $n-$, che in $n$ punti assumesse lo stesso valore che la $f(x)$ Per la determinazione di tale polinomio cfr. i §§ 14 . 49, 27 . 90.

δ) Criterio di convergenza di Cauchy.

Sia $f(x)$ una funzione definita nell'intervallo ($1,+\infty$, che la derivata $f'(x)$ sempre positiva; al crescere di $x$ la $f'(x)$ diminusice. Se $a,b$ sono due valori di $x$, se $a<b$, allora ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ è uguale al valore di $f'(x)$ in un punto dell'intervallo ($a,b$; tale frazione è dunque positiva minore di $f'(a)$ , maggiore di $f'(b)$. In particolare $F(b)-f(a)$ è positivo, $f(b)>f(a)$. Cosicchè $f(x)$ cresce quando cresce il valore dato ad $x$, e tende quindi a un limite per $x=+\infty$. Di più, ponendo $a=m,b=m+1$, oppure $a=m-1,b=m$, si trova:

$f(m+1)-f(m)<f'(m)<f(m)-f(m-1)$.

Scrivendo queste disuguaglianze per $m=2,3,4,\cdots ,n$, e sommando si trova:

$f(n+1)-f(2)<f'(2)+f'(3)+\cdots +f'(n)<f(n)-f(1)$.

Quindi la serie

$f'(1)+f'(2)+f'(3)+...$

converge o diverge secondo che $\lim _{x=+\infty }f(x)$ è finito o infinito, perchè la somma dei suoi primi $n$ termini è compresa tra

$f(n+1)+[f'(1)-f(2)]{\text{e}}f(n)+[f'(1)-f(1)]$,

e tende per $n=\infty$ a un limite finito soltanto quando altrettanto avviene per $f(n),f(n+1)$.

Ponendo $f(x)=\log x$, oppure $f(x)=\log \log x$, oppure $f)x)=\log \log \log x$ si dimostra subito, p. es., che la serie

${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+.....$,

${\frac {1}{2\log 2}}+{\frac {1}{3\log 3}}+{\frac {1}{4\log 4}}+.....$, ecc.

sono divergenti. Nella seconda si è cominciato dal termine corrispondente ad $x=2$ perchè per $x=1$ la $f(x)=\log \log x$ non ha derivata finita.

ε) Funzioni a derivata nulla.

Ricordiamo il teorema:

Una funzione costante ha derivata identicamente nulla.

Dimostriamo il teorema reciproco, d'importanza fondamentale: Una funzione $\mathrm {f(x)}$ la cui derivata è identicamente nulla, è costante.

Infatti siano $a$ e $b=a+h$ due punti qualsiasi dell'intervallo, ove la $f(x)$ è definita. Per il teorema della media di Lagrange, il rapporto

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

è uguale alla derivata $f'(x)$ in un punto intermedio, ed è quindi nullo, perchè $f'(x)$ è nulla dappertutto. Il suo numeratore è quindi nullo; cioè $f(a)=f(b)$. La funzione $f(x)$, riprendendo lo stesso valore in due punti qualsiasi $a,b$, è quindi una costante.     c. d. d.

Questo teorema è geometricamente intuitivo. Dire che $f'(x)$ è sempre nullo è asserire che le tangenti alla curca $y=f(x)$ sono tutte parallele all'asse delle $x$. Dire che $f(x)$ è costante equivale ad asserire che la curva $y=f(x)$ è una retta o un segmento, i cui punti distano ugualmente dall'asse delle $x$, ossia che tale curva è un segmento parallelo all'asse delle $x$. Il teorema geometricamente significa dunque:

Se le tangenti della curva $\mathrm {y=f(x)}$ sono tutte parallele all'asse x, tale curva è una retta o un segmento all'asse delle x.

meccanicamente questo teorema è pure evidente, e ci dice che un punto il quale si muove su una retta (ed ha all'istante $x$ una distanza $y=f(x)$ da un punto fisso $M$ della rete stessa) ed ha la velocità $\mathrm {f'(x)}$ sempre nulla, sta fermo (perchè resta ad una distanza $y$ costante dal punto $M$). Ciò non è un'osservazione banale; essa è piuttosto un'osservazione che conferma l'accordo tra l'idea intuitiva di velocità e la definizione matematica da noi datane.

Se due funzioni $f(x),\varphi (x)$ hanno in ogni punto di un certo intervallo ugual derivata finita, esse differiscono in esso di una costante. La loro differenza ha infatti per derivata la differenza delle derivata che è nulla, ed è quindi costante (Cfr. § 74, γ).

Note

1. Il teor. reciproco non è generalmente vero. Infatti noi abbiamo dimostrato che ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}={\frac {f(x_{1})}{\varphi (x_{1})}}$ ove $x_{1}$ è un certo punto intermedio tra $a$ ed $x$. Non è detto però che, al variare di $x$, la $x_{1}$ assuma tutti i valorì di un intorno di $a$ e che non ne salti qualcuno; cosicchè studiando ì valori di ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$ si studierebbero alcuni, ma non tutti i valori che il rapporto delle loro derivate assime în un intorno del punto $a$. E quindi nulla si può concludere per il limite di tale rapporto senza studi più minuti.