Se si suppone senz'altro
nei punti interni all'intervallo (
), allora soltanto nel punto (incognito) c sarà
, ma sarà anche soddisfatta l'altra ipotesi iniziale
, esisterebbe, per il teorema di Rolle, almeno un punto
, interno all'intervallo, ove si avrebbe
.
Se
, allora, posto
, se ne deduce:
(1)
[
appartenente all'intervallo
].
Cioè:
Se le funzioni continue e derivabili f (x), φ (x) sono nulle per x
a, e nei punti interni all'intervallo (a, x) la φ' (x) è differente da zero, allora il rapporto
è uguale al rapporto delle derivata prime in un punto x1 interno all'intervallo (a, x).
Al variare della
in un intorno
di
, la
percorrerà un certo insieme
di valori dello stesso intorno (cfr. Nota a pag. 200).
Se esiste il
, esisterà anche il
, e quindi per la (1) esisterà anche il
, cioè il limite del rapporto delle loro derivate prime
.
Se anche le derivate prime di
sono nulle nel punto
e se
quando
, potremo, applicando di nuovo lo stesso teorema, scrivere l'uguaglianza
dove
è un punto intermedio tra
ed
e quindi anche intermedio tra
ed
.
Così continuando troviamo infine che, se esistono le derivata delle f, φ fino a quelle di ordine
, se le
e le prime loro n derivate sono nulle per
(mentre le
sono differenti da zero per
), allora
,
dove
è un punto intermedio tra a ed x.
Se ne deduce una celebre formola dovuta pure a Lagrange conservando le ipotesi fatte per
e ponendo
col che le ipotesi fatte per
risultano soddisfatte. Poichè