Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/213


teoremi fondamentali sulle derivate, ecc. 197

sarà un punto

,          (1)


dove .

Il punto c soddisferà quindi alla:

ossia ,


per cui si avrà:

.          (2)


Questa formola fondamentale costituisce il teorema di Cauchy.

Se , la (2) diventa

;


e se , diventa

,


ossia, essendo per (1) :

.          (3)


Questa formola costituisce appunto il teorema della media di Lagrange, da cui siamo partiti, e che nel caso si riduce al teorema di Rolle.


§ 63. — Prime applicazioni del teorema della media.


α) Si può dimostrare semplicemente il teorema di Heine (pag. 135) per una funzione definita in un intervallo nel caso che la sua derivata sia limitata, che cioè esista una costante tale che . Se è un numero arbitrario, sia <mahth>\alpha</math> un qualsiasi intervallo parziale di ampiezza superiore ad . Siano due punti di , ove la assume il massimo e il minimo dei valori, che assume in . L'oscillazione in vale , dove è un punto intermedio tra e . Poichè e , tale oscillazione non supera .                                                                                                                        c. d. d.

β) La formola diventa (se ) .