Lezioni di analisi matematica/Capitolo 9/Paragrafo 62

by Guido Fubini

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 9 - Paragrafo 62

§ 62. — Proprietà fondamentali delle derivate.

Sia $f(x)$ una funzione continua nell'intervallo $(a,b)$. Sia $c$ un punto interno a tale intervallo.

α) Defin. Si dice che la funzione $f(x)$ è crescente nel punto $c$, se esiste un numero positivo $k$ tale che, per ogni numero $h$ positivo minore di $k$, valga la:

$f(c-h)<f(c)<f(c+h)$.

[Oss. Altri impongono soltanto che

$f(c-h)\leq f(c)\leq f(c+h)$].

Con notazioni analoghe la $f(x)$ si dice decrescente nel punto $c$, se:

$f(c-h)>f(c)>f(c+h)$.

[Altri impongono soltanto $f(c-h)\leq f(c)\leq f(c+h)$].

Oss. Se nel punto $c$ la funzione riceve il suo massimo o suo minimo valore, ivi la funzione non è né crescente né decrescente (quando però si addotti la nostra prima definizione).

Lemma. Se $f'(c)$ esiste ed è positivo, la $f(x)$ è crescente nel punto $c$. Se $f'(c)<0$, la funzione è decrescente nel punto $c$. Quindi, se nel punto $c$ la $f(x)$ raggiunge il suo massimo, o il suo minimo valore, e se $f'(c)$ esiste ed è finita, allora $f'(c)=0$.

Dimostriamo, p. es., la prima parte. Poiché $f'(c)=\lim _{h=+0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}=\lim _{h=+0}{\frac {f(c-h)-f(c)}{-h}}$, dalla $f'(c)>0$ segue (§ 32, oss. 6, pag. 109) che esiste un numero $k$ tale che, per $0<h<k$, i rapporti

${\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}$ e ${\frac {f(c-h)-f(c)}{-h}}$

sono positivi¹. Cioè $f(c+h)-f(c)$ è positivo; $f(c-h)-f(c)$ è negativo: cioè $f(c-h)<f(c)<f(c+h)$,                                         c. d. d.

β) Il teorema fondamentale del calcolo, di cui, si può dire tutti gli altri sono conseguenza, è un teorema intuitivo. Fig. 22. Sia $y=f(x)$ una curca $C$ dotata di tangente in ogni punto interno all'intervallo ($a,\,b$). La sola ispezione della figura 22 dimostra l'esistenza di un punto (nella figura quello di ascissa $c$ interno all'intervallo, in cui la tangente alla curva è parallela alla corda congiungente i punti della curva di ascissa $a,\,b$. Queste dye rette formeranno perciò angoli con l'asse delle $x$, e avranno quindi ugual coefficiente angolare; sarà cioè:

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$.

Posto $b=a+h,\,c=a+k$, i numeri $k,h$ hanno lo stesso segno, e il valore assoluto di $k$ è minore di quello di $h$.

Posto dunque ${\frac {k}{h}}=\theta$, ossia $k=h\theta$, è $0<\theta <1$; e la nostra formola si scrive:

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a+\theta h)$     ,     $(0<\theta <1)$.

Cioè un rapporto incrementale per la funzione f(x) è uguale alla derivata in un punto intermedio. Al limite (per $h=0$) esso diventa poi proprio la derivata nel punto $x=a$.

Questo importantissimo teorema si deve considerare intuitivo e in parte a noi già noto anche per le seguenti ragioni.

Noi sappiamo infatti che, se $f(x)$ è lo spazio percorso da un mobile all'istante $x$, allora ${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ rappresenta la velocitò media nell'intervallo ($a,\,a+h$), mentre $f'(a+\theta \,h)$ rappresenta la velocità all'istante intermedio $a+\theta \,h$. La formola precedente dice dunque soltanto che la velocità media in un certo intervallo di tempo è uguale alla velocità in un qualche istante intermedio. E ciò è ben chiaro: Se, p. es., un treno percorre 300 km. in cinque ore, cioè con una velocitò media di 60 km. all'ora, potrà darsi benissimo che in qualche istante il treno sia fermo, in qualche altro abbia velocità di 80, di 100 km. all'ora; ma esiste certamente almeno un istante del viaggio, in cui la velocità del treno è proprio uguale alla velocità media di 60 km. all'ora (almeno se ammettiamo che la velocità varii in modo continuo, cioè sia una funzione continua del tempo $x$. La dimostrazione, che daremo, prova però che il nostro teorema vale anche in casi più generali).

Anzi, se ricordiamo quanto abbiamo detto al § 47, troviamo che la penultima formola di esso (pag. 158) coincide proprio con quella che abbiamo ora scritta: appena si pongono $a$ e $k$ al posto di $x$ e $\lambda$, e si ricordi che $F$ è uguale alla derivata della $f(x)$. Si può dire dunque che no iabbiamo enunciato il teorema di cui qui ci occupiamo ancora prima di definire la derivata di una funzione (almeno nel caso particolare che questa derivata sia continua).

γ) Si voglia ora dimostrare il nostro teorema in modo generale e rigoroso. E cominciamo a supporre $f(a)=f(b)$. In questo caso la nostra proposizione assume la seguente forma precisa (teorema di Rolle).

Se f(x) è una funzione continua definita nell'intervallo (a, b) tale che f(a)=f(b), e se possiede derivata (finita) in tutti i punti interni a questo intervallo, esiste in esso almeno un punto c, per cui f'(c)$=$0.

Nell'enunciato di questo teorema non si ammette nè che $f'(x)$ sia continua, nè che $f'(x)$ esista agli estremi dell'intervallo $a,\,b$). Si potrebbe anche ammettere che nei punti interni a questo intervallo la $f'(x)$ fosse infinita, purchè di segno determinato.

Per il teorema di Weierstrass la $f(x)$ assume almeno in un punto $A$ di questo intervallo il valore massimo $M$, e almeno in un punto $B$ il valore minimo $m$. Se questi due punti sono entrambi agli estremi $a,\,b$, allora, siccome $f(a)=f(b)$, sarà $M=m$. Essendo uguali i valori massimo e minimo della $f(x)$, la $f(x)$ avrà in tutto l'intervallo valore costante, e quindi in qualsiasi punto $c$ interno all'intervallo stesso sarà $f'(c)=0$.

Rimane ora a studiare l'altro caso che la funzione acquisti il suo valore massimo o minimo in un punto $c$ interno ad ($a,\,b$); ma in tal caso il lemma precedente dimostra che ivi $f'(c)=0$.

Poichè $c$ è interno ad ($a,\,b$), potremo scrivere:

$c=a+\theta (b-a)$     $(0<\theta <1)$

dove $\theta$ è compreso tra $0$ ed $1$ (i numeri $0{\text{ed}}1$ esclusi).

Se si pone $b=a+h$, sarà $c=a+\theta h$².

Generalizzazioni.

Siano $f(x),\varphi (x)$ due funzioni derivabili nell'intervallo $(a,\,b$. E sia $\varphi (a)\not =\varphi (b)$; in altre parole la $\varphi (x)$ assume valori differenti agli estremi dell'intervallo $(a,b$.

Costruiamo la funzione

$F(x)=f(x)+k\,\varphi (x)$,

dove $k$ è una costante, che noi sceglieremo in guisa che $F(a)=F(b)$, ossia che

$f(a)+k\,\varphi (a)=f(b)+k\,\varphi (b)$;

da cui si trae $k=-{\frac {f(a)-f(b)}{\varphi (a)-\varphi (b)}}$; formola che è lecito scrivere, perchè per ipotesi il denominatore $\varphi (a)-\varphi (b)\not =0$.

Quindi la funzione

$F(x)=f(x)-{\frac {f(a)-f(b)}{\varphi (a)-\varphi (b)}}\varphi (x)$

è una funzione derivabile (perchè $f(x)$ e $\varphi (x)$ sono derivabili) e assume valori uguali per $x=a$ e $x=b$.

Perciò, per il teorema di Rolle, esiste almeno un punto dell'intervallo $(a,b)$ in cui la derivata $F'x$ è zero; questo punto sarà un punto

$c=a+\theta (b-a)$,          (1)

dove $0<\theta <1$.

Il punto c soddisferà quindi alla:

$F'(c)=0\,\,\,\,\,$ ossia $\,\,\,\,\,f'(c)-{\frac {f(a)-f(b)}{\varphi (a)-\varphi (b)}}\varphi '(c)=0$,

per cui si avrà:

$f'(c)={\frac {f(a)-f(b)}{\varphi (a)-\varphi (b)}}\varphi '(c)$.          (2)

Questa formola fondamentale costituisce il teorema di Cauchy.

Se $\varphi (x)=x,\,\varphi '(c)=1$, la (2) diventa

$f'(c)={\frac {f(b)-f(b)}{b-a}}$;

e se $b=a+h$, diventa

$f'(c)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$,

ossia, essendo per (1) $c=a+\theta \,h$:

$f'(a+\theta \,h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$.          (3)

Questa formola costituisce appunto il teorema della media di Lagrange, da cui siamo partiti, e che nel caso $f(a+h)=f(a)$ si riduce al teorema di Rolle.

Note

1. Prefissato un $\epsilon >0$, esiste un $k$ tale che per $0<h<k$ tali rapporti sono compresi (pag. 107) fra $f'(c)-\epsilon$ e $f'(c)+\epsilon$; cioè [se è stato scelto $\epsilon <f'(c)$] tra due quantità positive, e quindi sono essi stessi positivi.
2. Il teorema può non essere vero se non sono soddisfatte le ipotesi enunciate, cioè se la $f(x)$ ha in qualche punto interno ad ($a,\,b$) derivata infinita non determinata dal segno o indeterminata.

   Il lettore se ne convincerà facilmente pensando ad una linea $y=f(x)$ composta di due segmenti di rette concorrenti in un punto di ascissa c, nel quale la $f(x)$ raggiunga, p. es., il suo massimo valore; oppure pensando a un linea $y=f(x)$ composta di due archi di cerchi concorrenti in un punto di ascissa c, nel quale posseggano una stessa tangente perpendicolare all'asse delle $x$, nel caso che in ogni tale punto la y raggiunga, p. es., il suo massimo valore. Nel primo caso la $y'$ non è per $x=c/$ determinata, nel secondo la $y'$ non è finita. In tali casi, secondo le nostre convenzioni, noi diciamo che $y'$ non esiste.

   Un'osservazione analoga si presenterà nel paragrafo 70, ove studieremo i punti di massimo e di minimo di una funzione <matH>f(x)</math.