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TEOREMI FONDAMENTALI SULLE DERIVATE, ECC.

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γ) Interpolazione.

Capita molte volte di dover trovare un numero $\varphi (x)$ approssimato del valore che $f(x)$ assume nei punti $x$ di un intervallo $(a,b)$, quando si conoscano i valori $f(a)$ ed $f(b)$ che la $f(x)$ assume nei punti $a,b$. Ciò capita in pratica specialmente per il calcolo delle funzioni logaritmiche e trigonometriche: così p. es., se $f(x)=\log x$ se dalle tavole logaritmiche sono fati i valori di $\log 1000$ e di $\log 1001$, e si deve scrivere un valore approssimato del logaritmo di $1000,5$.

La formola, p. es., che si usa, come è ben noto, è la seguente:

$\varphi (x)=f(a)+{\frac {x-a}{b-a}}[f(b)-f(a)]$

(dove, nel caso che si ricorra a tavole numeriche, la $f(b)-f(a)$ dicesi la differenza tavolare).

Quale errore si commette usando tale formola, cioè scrivendo $\varphi (x)$ al posto di $f(x)$.

Si noti che in virtù del teorema della media,

$\varphi (x)=f(a)+{\frac {x-a}{b-a}}[f(b)-f(a)]=f(a)+(x+a)f'(c)=$

$=f(b)+{\frac {x-b}{a-b}}[f(a)-f(b)]=f(b)+(x-b)f'(c)$

dove $c$ è un punto intermedio tra $a$ e $b$. Così pure in virtù del teorema della media ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=f'(\xi )$, cosicchè $f(x)=f(a)+(x-a)f'(\xi )$; e similmente

$f(x)=f(b)+(x-b)f'(x)$

dove $\xi$ è un punto intermedio tra $a/math>ed<math>x$ e quindi , anche tra $a$ e $b$, ed $\eta _{1}$ è un altro punto dell'intervallo $(a,b$.

Quindi l'errore $|f(x)-\varphi (x)|$ commesso scrivendo $\varphi (x)$ al posto di $f(x)$ vale $|x-a||f'(c)-f'(\xi )|=|x-b||f'(c)-f'(\eta )|$. E, se $f(x)$ possiede derivata seconda, tale errore vale $|(x-a)(c-\xi )f''(\xi _{1})|=|(x-b)(c-\eta )f''(\eta _{1})|$ dove, secondo il teorema della media, $\xi$, è intermedio tra $c$ ed $\xi$, mentre $\eta$, è intermedio tra $c$ ed $\eta$. Cosicchè $\xi _{1}$ ed $\eta _{1}$ sono punti di $(a,b)$. Se dunque $|f'(x)|$ in $(a,b)$ non supera la costante $M$, allora, poichè $|c-\xi |<|b-a|{\text{e}}|(c-\eta )|<|b-a|$, tale errore non supera $|(x-a)(b-a)M|$, nè $|(x-b)(b-a)M|$ e quindi neanche il più piccolo di questi due che è certo non superiore a ${\frac {1}{2}}(b-a)^{2}M$.

Il lettore applichi questo risultato alle usuali tavole logaritmiche.

Oss. Si noti che, sostituendo la $\varphi (x)$ alla $f(x)$, si è sostituito alla $f(x)$ un polinomio di primo grado che in due punti (nei punti $x=a,x=b$) assume lo stesso valore di $f(x)$. Si potrebbe generalizzare il metodo, sostituendo, p. es., ad $f(x)$ un polinomio di grado $n-$, che in $n$ punti assumesse lo stesso valore che la $f(x)$ Per la determinazione di tale polinomio cfr. i §§ 14 . 49, 27 . 90.

δ) Criterio di convergenza di Cauchy.

Sia $f(x)$ una funzione definita nell'intervallo ($1,+\infty$, che la derivata $f'(x)$ sempre positiva; al crescere di $x$ la $f'(x)$ diminusice. Se $a,b$ sono due valori di $x$, se $a<b$, allora ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ è uguale al valore di $f'(x)$ in un punto dell'intervallo ($a,b$; tale frazione è dunque positiva minore di $f'(a)$ , maggiore di $f'(b)$. In particolare $F(b)-f(a)$ è positivo, $f(b)>f(a)$. Cosicchè $f(x)$ cresce quando cresce il valore dato ad $x$, e tende quindi a un limite per $x=+\infty$. Di più, ponendo $a=m,b=m+1$, oppure $a=m-1,b=m$, si trova:

$f(m+1)-f(m)<f'(m)<f(m)-f(m-1)$.

Scrivendo queste disuguaglianze per $m=2,3,4,\cdots ,n$, e sommando si trova:

$f(n+1)-f(2)<f'(2)+f'(3)+\cdots +f'(n)<f(n)-f(1)$.