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teoremi fondamentali sulle derivate, ecc.

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$x$ una distanza $y=f(x)$ da un punto fisso $M$ della rete stessa) ed ha la velocità $\mathrm {f'(x)}$ sempre nulla, sta fermo (perchè resta ad una distanza $y$ costante dal punto $M$). Ciò non è un'osservazione banale; essa è piuttosto un'osservazione che conferma l'accordo tra l'idea intuitiva di velocità e la definizione matematica da noi datane.

Se due funzioni $f(x),\varphi (x)$ hanno in ogni punto di un certo intervallo ugual derivata finita, esse differiscono in esso di una costante. La loro differenza ha infatti per derivata la differenza delle derivata che è nulla, ed è quindi costante (Cfr. § 74, γ).

§ 64 — Radici multiple di un'equazione.

Sia $a$ una radice dell'equazione algebrica, o non algebrica $f(x)=0$. Nei casi più comuni esiste una costante positiva $h$ tale che $f(x)$ sia infinitesimo di ordine $h$ rispetto ad $x-a$, ossia che, posto ${\frac {f(x)}{(x-a)^{h}}}=\varphi (x)$, la $\varphi (x)$ abbia per $x=a$ un limite, che indicheremo con $\varphi (a)$, finito e diverso sa zero. In tal caso diremo che $x=a$ è una radice di ordine $h$ per l'equazione $f(x)=0$.

Se $h=1$, la radice si dirà semplice; se $h>1$ è un intero positivo, la radice $a$ si dirà multipla.

Se $\mathrm {h>1}$, se $\mathrm {f(x)}$ e $\mathrm {\varphi (x)}$ derivabili anche nel punto $\mathrm {x=a}$^[1], dalla $f(x)=(x-a)^{h}\varphi (x)$ si deduce derivando che $f'(x)=(x-a)^{h-1}\theta (x)$ dove $\theta (x)=h\,\varphi (x)+(x-a)\varphi '(x)$ ha per $x=a$ un limite finito e diverso da zero. Quindi:

Nelle nostre ipotesi per la $\mathrm {f(x)=0}$, una radice di ordine $h>1$ per la equazione $f(x)=0$ è radice di ordine $h-1$ per l'equazione $f'(x)=0$.

Viceversa, se $a$ è radice della $f(x)=0$, ed è anche radice di ordine $\mathrm {h-1>0}$ per la $\mathrm {f'(x)}$, sarà:

${\frac {f(x)}{(x-a)^{h}}}={\frac {f(x)-f(a)}{(x-a)^{h}}}={\frac {f'(x_{1})}{h(x_{1}-a)^{h-1}}}$

(dove $x_{1}$ è un punto intermedio tra $a$ ed $x$).

Per ipotesi esiste il limite per $x_{1}=a$ del terzo membro (finito e diverso da zero). Altrettanto avverrà del primo; cioè $f(x)=0$ avrà $a$ come radice di ordine $h$.

1. La $\varphi (x)$ vale per definizione ${\frac {f(x)}{(x-a)^{h}}}$ per $x\not =a$, e vale $\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{(x-a)^{h}}}$ nel punto $x=a$. L'ipotesi del testo è soddisfatta se per esempio $f(x)$ è razionale, oppure è una serie di potenze.