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Capitolo 4 - Relazioni tra coefficienti e radici di un'equazione algebrica

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Capitolo 4 - Relazioni tra coefficienti e radici di un'equazione algebrica
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§ 14. — Relazioni tra coefficienti e radici di un’equazione algebrica.

Dedurremo più tardi dalla teorie delle funzioni continue in più variabili il teorema fondamentale dell’algebra (teorema di Gauss).

Ogni polinomio di grado n nella x è decomponibile in uno e in un solo modo nel prodotto di e di n fattori di primo grado dove le sono numeri distinti o no, reali o complessi.

. (1)

[Ricordo che, dicendo che è di grado , si è detto anche che ].

Questa decomposizione in fattori ha qualche analogia con la decomposizione di un numero intero in fattori primi. Nell’algebra dei polinomii, che noi studiamo, i polinomii di primo grado hanno così un ufficio analogo a quello che i numeri primi hanno nell’aritmetica dei numeri interi.

Gli n numeri 1 sono tutte e solo le radici dell’equazione (perchè può essere nullo soltanto se uno dei fattori è nullo).

Ciò che rende intuitivo il teorema del Ruffini relativo al caso in cui il polinomio è divisibile per un binomio .

Le formole del § 11 (pagina 44) ci dicono allora che:

La somma delle radici vale .

La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando a due a due le radici vale .

La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando ad h ad h (se ) le radici vale .

Il prodotto delle n radici vale .

Questi teoremi sono la generalizzazione di quelli ricordati nel § 10 per le equazioni di secondo e terzo grado. [p. 49 modifica]

Dal teorema sopra enunciato si deduce anche che, se è un polinomio di (apparente) grado , e se l’equazione ammette più di radici, allora è identicamente nullo, e ogni numero della radice della (in altre parole tutti i coefficienti di sono nulli).

Se due polinomi , sono uguali per tutti i valori della , allora l’equazione ammette infinite radici (perchè ogni numero ne è radice). Quindi il polinomio ha nulli tutti i suoi coefficienti; cioè il grado di è uguale al grado di ; ed ogni potenza della ha coefficienti uguali in e in : in una parola i polinomii , sono identicamente uguali.

Più precisamente due polinomii , di grado sono uguali identicamente, se assumono gli stessi valori in punti distinti . Cioè è completamente determinato un polinomio di grado , quando sieno dati i valori , che esso assume in punti distinti . Ed è facile intuire e verificare che un tale polinomio è dato che dalla

.

Alle formole di § 14, , possiamo dare un altro aspetto notevole (Newton). Se noi nel secondo e terzo membro di (1) poniamo al posto della , i coefficienti di nelle espressioni che se ne deducono saranno uguali. Si trova così con facile calcolo che:

. (2)
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Se noi calcoliano i quozienti dell’ultimo membro di (2) con le regole del § 13 troviamo:

,

dove con ho indicato la somma delle potenze delle radici . Se ne deduce, confrontando primo e terzo membro:

.

Le quali formole permettono di calcolare successivamente le . Moltiplicando per , sostituendo nel prodotto una delle al posto di (col che tale prodotto si annulla) e sommando tali prodotti si trova: (posto )

che permette di calcolare successivamente

Cosicchè: Si possono calcolare le appena sono noti i coefficienti dell’equazione .

) Si calcoli la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando la potenza di una radice di una data equazione per la potenza di un’altra radice.

Basta osservare che il prodotto se e che .

Cosicchè , se , e .

Le formole di Newton permettono così di esprimere in ogni caso per mezzo dei coefficienti dell’equazione. In modo analogo si deduce all’esame del prodotto che: La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando la potenza d’una radice di una equazione per la potenza di una seconda radice, e la potenza d’una terza radice è esprimibile razionalmente2 mediante i coefficienti dell’equazione stessa.

In modo simile si definiscono e si insegnano a calcolare le , eccetera, eccetera.

Tanto le che le eccetera, sono funzioni simmetriche delle radici d’una equazione (cioè non cambiano di valore, quando tali radici si permutino tra di loro in un modo qualsiasi). Ed è facile persuadersi che ogni polinomio simmetrico delle radici d’un equazione si ottiene come combinazione lineare delle somme testè calcolate, ed è quindi esso stesso calcolabile razionalmente mediante i coefficienti dell’equazione (senza che sia necessario risolverla).

Così, per esempio, se sono le quattro radici di una equazione di quarto grado, l’espressione:

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Il suo calcolo è ridotto a quello di , che noi sappiamo eseguire per mezzo delle formole di Newton. Ma, naturalmente, speciali artifici potrebbero abbreviarlo di gran lunga.

Note

  1. Ricordo che le possono anche essere non tutte distinte.
  2. Vale a dire con sole addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni.