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capitolo iv — § 14

§ 14. — Relazioni tra coefficienti e radici di un’equazione algebrica.

$\alpha )$ Dedurremo più tardi dalla teorie delle funzioni continue in più variabili il teorema fondamentale dell’algebra (teorema di Gauss).

Ogni polinomio $\mathrm {P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}}$ di grado n nella x è decomponibile in uno e in un solo modo nel prodotto di $\mathrm {a_{0}}$ e di n fattori di primo grado $\mathrm {x-\alpha _{1},x-\alpha _{2},\ldots x-\alpha _{n}}$ dove le $\alpha$ sono numeri distinti o no, reali o complessi.

$P(x)$	$=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=$
	$=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{n})$.	(1)

[Ricordo che, dicendo che $P(x)$ è di grado $n$, si è detto anche che $a_{0}\not =0$].

Questa decomposizione in fattori ha qualche analogia con la decomposizione di un numero intero in fattori primi. Nell’algebra dei polinomii, che noi studiamo, i polinomii di primo grado hanno così un ufficio analogo a quello che i numeri primi hanno nell’aritmetica dei numeri interi.

Gli n numeri $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}$¹ sono tutte e solo le radici dell’equazione $\mathrm {P(x)=0}$ (perchè $P(x)$ può essere nullo soltanto se uno dei fattori $x-\alpha$ è nullo).

Ciò che rende intuitivo il teorema del Ruffini relativo al caso in cui il polinomio $P(x)$ è divisibile per un binomio $x-\alpha$.

Le formole del § 11 (pagina 44) ci dicono allora che:

La somma delle radici $\alpha$ vale $\mathrm {\frac {a_{1}}{a_{0}}}$.

La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando a due a due le radici $\alpha$ vale $\mathrm {\frac {a_{2}}{a_{0}}}$.

La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando ad h ad h (se $h\geq n$) le radici $\alpha$ vale $\mathrm {(-1)^{h}{\frac {a_{h}}{a_{0}}}}$.

Il prodotto delle n radici $\alpha$ vale $\mathrm {(-1)^{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}}$.

Questi teoremi sono la generalizzazione di quelli ricordati nel § 10 per le equazioni di secondo e terzo grado.

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1. Ricordo che le $\alpha$ possono anche essere non tutte distinte.