Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Paragrafo 12

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 4 - Divisione di due polinomii

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§ 12. — Divisione di due polinomii.

Siano $M(x),N(x)$ due polinomii della variabile $x$ , i cui gradi sieno rispettivamente $m,n$ . Sarà:

$M(x)=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+\ldots +a_{m-1}x+a_{m}$ ,

$N(x)=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\ldots +b_{n-1}x+b_{n}$ ,

(dove $a,b$ sono costanti).

Dividendo $M(x)$ per $N(x)$ con le regole dell’algebra elementare si troverà un quoziente $Q(x)$ ed un resto $R(x)$ , entrambi polinomii nella $x$ .

Il grado di $R(x)$ è inferiore a quello del divisore $N(x)$ . E si ha identicamente:

$M(x)=N(x)Q(x)+R(x)$ ¹.

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Se $m\geq n$ , $Q$ è un polinomio di grado $m-n$ ; se $m<n$ , allora $Q$ è identicamente nullo ed $R=M$ . In particolare, se $m=n$ , allora $Q$ è di grado nullo, cioè non dipende da $x$ , o, come si suol dire, è una costante.

Viceversa, se per esempio $m\geq n$ , e $Q$ ed $R$ sono due polinomii, che soddisfano identicamente alla precedente uguaglianza, se il grado di $R$ non supera quello di $N$ , allora $Q$ è di grado $m-n$ ed i due polinomii $Q$ ed $R$ sono precisamente il quoziente ed il resto che si ottengono dividendo $M$ per $N$

(Tutti questi risultati sono una facile estensione dei teoremi analoghi per i numeri intieri).

Se $R(x)=0$ , il polinomio $N(x)$ si dice essere un divisore di $M(x)$ . In tale caso, se $k$ è una costante qualsiasi non nulla, anche $kN(x)$ è un divisore di $M$ perchè si ha:

$M(x)=kN(x)\left[{\frac {1}{k}}Q(x)\right]$ .

Ogni polinomio di grado zero si riduce ad una costante $k$ ed è un divisore di $M(x)$ , perchè dividendo $M(x)$ per $k$ si ottiene il quoziente ${\frac {1}{k}}M(x)$ ed un resto nullo. I polinomii di grado zero (le costanti) hanno quindi nell’attuale teoria un ufficio analogo a quello che il numero 1 ha nella teoria dei divisori dei numeri intieri.

Se noi applichiamo gli stessi metodi che si adoprano nella aritmetica e nello studio dei divisori dei numeri intieri troviamo:

Un polinomio che sia divisore comune dei due polinomii M(x) e N(x) è un divisore anche del resto ottenuto dividendo M per N; e viceversa un polinomio che è divisore di questo resto, e divide il polinomio N(x), divide anche l’altro polinomio M(x). [p. 46 modifica]

Dividiamo	$M(x)$	per	il	polinomio	$N(x)$ , sia $R(x)$	il	resto	della	div.
”	$N(x)$	”	”	”	$R(x)$ , sia $R_{1}(x)$	”	”	” 2^a	”
”	$R(x)$	”	”	”	$R_{1}(x)$ , sia $R_{2}(x)$	”	”	” 3^a	”
”	$R_{1}(x)$	”	”	”	$R_{2}(x)$ , sia $R_{3}(x)$	il	resto;

così continuiamo fino a che si trovi un resto nullo; si dimostra (come si dimostra in aritmetica per i numeri intieri) che l’ultimo resto ottenuto differente da zero (lo stesso polinomio $N(x)$ se $R(x)=0$ ) è un divisore comune di $M(x),N(x)$ ed è anzi il $M.C.D.$ ² di questi polinomii, perchè ogni divisore comune di $M,N$ è un divisore anche di quest’ultimo resto e viceversa.

Se questo massimo comune divisore è di grado zero (è costante), i due polinomi $M,N$ si dicono primi tra loro.

Se si vogliono cercare i divisori $mx+n$ di primo grado di un polinomio $P(x)$ , si osserva che, se $\left[x-\left(-{\frac {n}{m}}\right)\right]=x-\alpha \left({\text{essendo}}\,\alpha =-{\frac {n}{m}}\right)$ è un divisore di $P(x)$ , anche $mx+n$ è un divisore di $P(x)$ e viceversa.

La ricerca dei divisori di primo grado equivale alla ricerca dei divisori del tipo $x-\alpha$ , di cui parleremo nei seguenti paragrafi.

Note

↑ Il problema di determinare $Q(x)$ ed $R(x)$ è per definizione quello di determinare i due polinomii in guisa che questa uguaglianza di una identità, e che il grado di $R(x)$ non superi quello del divisore $N(x)$ . Quest’ultima convenzione è necessaria per rendere univocamente determinato il problema.
Si noti che altre sono le convenzioni dell’aritmetica. Nell’aritmetica dei numeri fratti (come nell’algebra delle frazioni) non si parla di resto (che si suppone nullo). Nell’aritmetica dei numeri interi positivi si rende univocamente determinata la divisione, imponendo al resto di non superare il divisore (così che non si dice mai per esempio che, dividendo 22 per 7, si ha 2 per quoziente, 8 per resto). Così che il risultato ottenuto nella divisione algebrica di due polinomi può contrastare con tale convenzione aritmetica, quando ai coefficienti e alla $x$ si diano particolari valori interi positivi. Il lettore lo può riconoscere, osservando che il quoziente e il resto ottenuti dividendo $x^{2}+(b-a^{2})$ per $x-a$ sono rispettivamente $x+a$ e $b$ ; e ponendo per esempio $x=5,a=4,b=3$ .
↑ Tale massimo comune divisore è determinato a meno di un fattore costante.

[p60-1] Il problema di determinare $Q(x)$ ed $R(x)$ è per definizione quello di determinare i due polinomii in guisa che questa uguaglianza di una identità, e che il grado di $R(x)$ non superi quello del divisore $N(x)$ . Quest’ultima convenzione è necessaria per rendere univocamente determinato il problema.
Si noti che altre sono le convenzioni dell’aritmetica. Nell’aritmetica dei numeri fratti (come nell’algebra delle frazioni) non si parla di resto (che si suppone nullo). Nell’aritmetica dei numeri interi positivi si rende univocamente determinata la divisione, imponendo al resto di non superare il divisore (così che non si dice mai per esempio che, dividendo 22 per 7, si ha 2 per quoziente, 8 per resto). Così che il risultato ottenuto nella divisione algebrica di due polinomi può contrastare con tale convenzione aritmetica, quando ai coefficienti e alla $x$ si diano particolari valori interi positivi. Il lettore lo può riconoscere, osservando che il quoziente e il resto ottenuti dividendo $x^{2}+(b-a^{2})$ per $x-a$ sono rispettivamente $x+a$ e $b$ ; e ponendo per esempio $x=5,a=4,b=3$ .

[2] Tale massimo comune divisore è determinato a meno di un fattore costante.

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