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polinomii ed equazioni algebriche

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$\beta )$ Dal teorema sopra enunciato si deduce anche che, se $P(x)$ è un polinomio di (apparente) grado $n$, e se l’equazione $P(x)=0$ ammette più di $n$ radici, allora $P(x)$ è identicamente nullo, e ogni numero della radice della $\mathrm {P(x)=0}$ (in altre parole tutti i coefficienti di $\mathrm {P(x)}$ sono nulli).

Se due polinomi $P(x)$, $Q(x)$ sono uguali per tutti i valori della $x$, allora l’equazione $P(x)-Q(x)=0$ ammette infinite radici (perchè ogni numero ne è radice). Quindi il polinomio $P(x)-Q(x)$ ha nulli tutti i suoi coefficienti; cioè il grado di $\mathrm {P(x)}$ è uguale al grado di $\mathrm {Q(x)}$; ed ogni potenza della $x$ ha coefficienti uguali in $P(x)$ e in $Q(x)$: in una parola i polinomii $P(x)$, $Q(x)$ sono identicamente uguali.

Più precisamente due polinomii $P_{1}(x)$, $P_{2}(x)$ di grado $n-1$ sono uguali identicamente, se assumono gli stessi valori in $n$ punti distinti $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$. Cioè è completamente determinato un polinomio $P(x)$ di grado $n-1$, quando sieno dati i valori $P(a_{1}),P(a_{2}),\ldots ,P(a_{n})$, che esso assume in $n$ punti distinti $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$. Ed è facile intuire e verificare che un tale polinomio è dato che dalla

$P(x)$	$=P(a_{1}){\frac {(x-a_{2})(x-a_{3})\ldots (x-a_{n})}{(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})\ldots (a_{1}-a_{n})}}+$
	$+P(a_{2}){\frac {(x-a_{1})(x-a_{3})\ldots (x-a_{n})}{(a_{2}-a_{1})(a_{2}-a_{3})\ldots (a_{2}-a_{n})}}+$
	$+..........+$
	$+P(a_{n}){\frac {(x-a_{1})(x-a_{2})\ldots (x-a_{n-1})}{(a_{n}-a_{1})(a_{n}-a_{2})\ldots (a_{n}-a_{a_{n}-1})}}=$
$=\sum _{=1}^{n}P(a_{i}){\frac {(x-a_{1})(x-a_{2})\ldots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})(x-a_{i+2})\ldots (x-a_{n})}{(a_{i}-a_{1})(a_{i}-a_{2})\ldots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})(a_{i}-a_{i+2})\ldots (a_{i}-a_{n})}}$.

$\gamma )$ Alle formole di § 14, $\alpha$, possiamo dare un altro aspetto notevole (Newton). Se noi nel secondo e terzo membro di (1) poniamo $x+h$ al posto della $x$, i coefficienti di $h$ nelle espressioni che se ne deducono saranno uguali. Si trova così con facile calcolo che:

$na_{o}x^{n-1}+(n-1)a_{1}x^{n-2}+\ldots +a_{n-1}=$
$=a_{0}(x-\alpha _{2})(x-\alpha _{3})\ldots (x-\alpha _{n-1})(x-\alpha _{n})+$
$+a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{3})\ldots (x-\alpha _{n-1})(x-\alpha _{n})+$
$+................$
$a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{n-2})(x-\alpha _{n})+$
$a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{n-2})(x-\alpha _{n-1})=$
$={\frac {P(x)}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {P(x)}{x-\alpha _{2}}}+\ldots +{\frac {P(x)}{x-\alpha _{n}}}$.	(2)

4 — G. Fubini, Analisi matematica.