Lezioni di analisi matematica/Capitolo 3/Paragrafo 10

by Guido Fubini

Capitolo 3 - Equazioni di 2°, 3° e 4° grado

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 10. — Equazioni di 2°, 3° e 4° grado.

Le formole (equivalenti) ben note

$x=-{\frac {p}{4}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

che dànno le radici di un’equazione di secondo grado

$x^{2}+px+q=0$	$ax^{2}+bx+c=0$
	$(a\not =0)$

acquistano significato generale (anche se ${\frac {p^{2}}{4}}-q$ o $b^{2}-4ac$ sono negativi) nel campo dei numeri complessi. Se $x_{1}$, $x_{2}$ sono tali radici è noto che valgono le identità:

$x^{2}+px+q=(x-x_{1})(x-x_{2})$	$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
$x_{1}+x_{2}=-p$	$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$
$x_{1}x_{2}=q$	$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

La teoria dei numeri complessi permette di risolvere in generale anche le equazioni di terzo e quarto grado. Noi, come esempio e più che altro a titolo di utile esercitazione, ci occuperemo qui delle equazioni di terzo grado, riassumendo nel modo più rapido uno dei metodi di risoluzione delle equazioni di quarto grado.

Sia data l’equazione di terzo grado

$x_{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$.

Posto $x=y-{\frac {a_{1}}{3}}$, l’equazione si trasforma in un’equazione del tipo:

$y^{3}+py+q=0$;

la quale, posto $y=u+v$, diventa

$u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0$,

cosicchè, se poniamo inoltre $uv=-{\frac {p}{3}}$¹, la nostra equazione si riduce alla

$u^{3}+v^{3}=-q$.

Ma è pure $u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}$; e quindi $u^{3}$, $v^{3}$ sono le radici dell’equazione:

$z^{2}+qz-{\frac {p^{3}}{27}}=0$

ossia:

$u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$,

$v^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$.

Estraendo le radici cubiche, si traggono i valori di $u$, $v$ e si trova:

$y=u+v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$.

Ciascuna di queste radici cubiche ha tre valori; scelto, per esempio, per la prima uno di essi arbitrariamente tra i tre possibili, il valore da darsi alla seconda radice cubica è completamente determinato da ciò che il prodotto delle due radici cubiche (ossia $uv$) deve uguagliare $-{\frac {p}{3}}$.

Siano $a$, $b$ due valori dei nostri radicali, il cui prodotto uguaglia $-{\frac {p}{3}}$. Se $\varepsilon \neq 1$ è una radice cubica di $+1$, la terza radice cubica di $1$ sarà (come sì è visto al § 9) ${\frac {1}{\varepsilon }}=\varepsilon ^{2}$. I tre valori del primo radicale saranno: $a$, $\varepsilon a$, $\varepsilon ^{2}a$; i valori corrispondenti del secondo saranno $b$, $\varepsilon ^{2}b$, $\varepsilon b$, quindi la nostra equazione avrà le tre radici $a+b$, $\varepsilon a+\varepsilon ^{2}b$, $\varepsilon ^{2}a+\varepsilon b$ generalmente distinte. Se ${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}=0$, allora posso supporre chiaramente² $a=b$, e delle tre radici almeno le seconde due sono uguali tra loro.

Siano $p$, $q$ reali; se ${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}>0$ posso supporre $a$, $b$ reali; delle tre radici, una è quindi reale, le altre due immaginarie coniugate. Invece, se ${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}<0$ [per il che è necessario che ${\frac {p^{3}}{27}}$ sia minore di $-{\frac {q^{2}}{4}}$, e quindi che $p$ sia negativo ($p=-|p|$)], le radici sono tutte e tre reali, nonostante che ${\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$ sia immaginario, come ora proveremo, Posto:

${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}=-r^{2}$

($r$ reale),

la nostra formola diventa:

$y={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+ir}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-ir}}$.

Si scriva ciascuno dei due radicandi sotto forma trigonometrica, ponendo:

$\rho ^{2}={\frac {q^{2}}{4}}+r^{2}=-{\frac {p^{3}}{27}}$,

$\cos \theta =-{\frac {q}{2\rho }}$,

$\operatorname {sen} \theta ={\frac {r}{\rho }}$;

si avrà:

$y={\sqrt[{3}]{\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )}}+{\sqrt[{3}]{\rho (\cos \theta -i\operatorname {sen} \theta )}}$.

I tre valori della prima radice cubica sono:

${\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right\}$,

${\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta +2\pi }{3}}\right\}$,

${\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta +4\pi }{3}}\right\}$.

I tre valori della seconda radice cubica sono:

${\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right\}$,

${\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta +2\pi }{3}}\right\}$,

${\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta +4\pi }{3}}\right\}$.

Si osservi che ogni valore di $y$ si ottiene sommando un valore del primo radicale con un valore del secondo, scelti in guisa che il loro prodotto sia reale. Si avranno dunque le tre radici:

$y_{1}={\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right)+\left(\cos {\frac {\theta }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right)\right\}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta }{3}}$

$y_{2}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}$;

$y_{3}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}$,

dove:

${\sqrt[{3}]{\rho }}={\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}={\sqrt {\frac {|p|}{3}}}$ (perchè $p$ dev’essere negativo).

Queste formole si possono dedurre per via elementare.

Infatti, posto $z={\frac {y}{2{\sqrt[{3}]{\rho }}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {y}{\sqrt {-p}}}$, l’equazione diventa:

$-4{\frac {2p{\sqrt {-p}}}{3{\sqrt {3}}}}z^{3}+2p{\frac {\sqrt {-p}}{\sqrt {3}}}z+q=0$ ossia:

$4z^{3}-3z-q{\frac {3{\sqrt {3}}}{2p{\sqrt {-p}}}}=0$.

Ora dalla $\cos \theta =\cos {\left({\frac {\theta }{3}}+{\frac {\theta }{3}}+{\frac {\theta }{3}}\right)}$ si deduce:

$\cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}$.

Mutando $\theta$ in $\theta +2k\pi$ (dove $k$ è un intero), si trova:

$4\cos ^{3}{\frac {\theta +2k\pi }{3}}-3\cos {\frac {\theta +2k\pi }{3}}-\cos \theta =0$

che si riduce alla precedente equazione quando si ponga:

$z=\cos {\frac {\theta +2k\pi }{3}}$;

$\cos \theta ={\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2|p|{\sqrt {|p|}}}}=-{\frac {q}{2\rho }}$.

È facile riconoscere che, se $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ sono le tre radici della nostra equazione, valgono le identità:

$x^{3}+$	$a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$
	$a_{1}=-(x_{1}+x_{2}+x_{3})$
	$a_{2}=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}$
	$a_{3}=-x_{1}x_{2}x_{3}$,

formole che sono affatto analoghe a quelle testè ricordate relative alle equazioni di secondo grado (Confronta anche il § 14).

Equazioni di quarto grado³.

Per risolvere l’equazione di quarto grado

$x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}=0$

si indichino con $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $c_{4}$, le quattro radici (Confronta il § 14), e si ponga:

$z_{1}=c_{1}c_{2}+c_{3}c_{4}$;

$z_{2}=c_{1}c_{3}+c_{2}c_{4}$;

$z_{3}=c_{1}c_{4}+c_{2}c_{3}$.

Sia $z^{3}+\alpha z^{2}+\beta z+\gamma$ l’equazione di terzo grado, che ha le radici $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$. I coefficienti di questa equazione non cambiano, come è facile verificare, permutando le $c$ ossia sono funzioni simmetriche delle $c$, che si possono subito calcolare quando sono date le $\alpha$ (Confronta il seguente § 14).

Risolvendo tale equazione di terzo grado, sì troveranno i valori delle $z$. Poichè $(c_{1},c_{2})(c_{3}c_{4})=a_{4}$, $c_{1}c_{2}+c_{3}c_{4}=z_{1}$, delle $c_{1}c_{2}$ e $c_{3}c_{4}$ si conoscono somma e prodotto, e quindi si possono calcolare, risolvendo un’equazione di secondo grado, sia $c_{1}c_{2}$, che $c_{3}c_{4}$. Dalle equazioni (Confronta il § 14)

$c_{1}c_{2}(c_{3}+c_{4})+c_{3}c_{4}(c_{1}+c_{2})=-a_{3}$

$(c_{3}+c_{4})+(c_{1}+c_{2})=-a_{1}$

si possono poi generalmente ricavare $c_{3}+c_{4}$ e $c_{1}+c_{2}$. Delle $c_{1}$, $c_{2}$, (come anche delle $c_{3}$ $c_{4}$) si conosceranno così somma e prodotto; e pertanto si possono dedurre i valori di tutte le $c$.

Note

1. Ciò è lecito; perchè dei numeri $u$, $v$ è finora soltanto prefissata la somma $y$; e quindi si può anche scegliere ad arbitrio il valore del prodotto $uv$.
2. Almeno, se $p$, $q$ sono reali. Il lettore esamini il caso generale.
3. Le righe seguenti si potranno studiare soltanto dopo letto il § 14 a pagina 48 e seguenti; lo studio delle equazioni di 4° grado trova però ben scarse applicazioni.