Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Paragrafo 15

by Guido Fubini

Capitolo 4 - Radici razionali di un'equazione a coefficienti razionali

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 15. — Radici razionali di un'equazione a coefficienti razionali.

Data un’equazione di grado superiore al quarto, è generalmente impossibile ridurne la soluzione alla estrazione di radici, come avviene per le equazioni di 2°, di 3°, ed anche di 4° grado. Svariatissimi metodi sono stati trovati per calcolare con approssimazione tali radici; ma questi metodi hanno ben scarsa importanza per l’ingegnere. Per noi tale ricerca rientrerà nello studio più generale della risoluzione approssimata di un’equazione anche non algebrica¹.

Ciononostante vogliamo aggiungere un’osservazione specialmente semplice. Poniamo che i coefficienti dell'equazione:

$f(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\ldots +a_{n-1}z+a_{n}=0$

(1)

siano numeri razionali (cioè numeri interi o fratti). Senza diminuire la generalità possiamo supporli interi, perchè, qualora fra di essi ve ne fossero dei fratti, basterebbe moltiplicare ambo i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori dei coefficienti fratti, per ottenere un’altra equazione (avente le stesse radici della prima) ed a coefficienti tutti i interi.

Supposto adunque che le $a$ siano numeri interi, noi dimostriamo che, se la nostra equazione possiede una radice razionale ${\frac {\alpha }{\beta }}$ ($\alpha ,\beta$ interi primi tra di loro) allora $\alpha$ è un divisore di $a_{n}$, $\beta$ un divisore di $a_{0}$. Infatti in tali ipotesi si ha: $a_{0}\left({\frac {\alpha }{}}\right)^{n}+a_{1}\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)^{n-1}+\ldots +a_{n-1}-{\frac {\alpha }{\beta }}+a_{n}=0$, che si può scrivere (moltiplicando per $\beta ^{n}$):

$a_{0}\alpha ^{n}+a_{1}\alpha ^{n-1}\beta +a_{2}\alpha ^{n-2}\beta ^{2}+\ldots +a_{n-1}\alpha \beta ^{n-1}+a_{0}\beta ^{n}=0$,

ossia:

$a_{0}\alpha ^{n}=-\beta \left\{a_{1}\alpha ^{n-1}+a_{2}\alpha ^{n-2}\beta +\ldots +a_{n}\beta ^{n-1}\right\}$

oppure:

$a_{n}\beta ^{n}=-\alpha \left\{a_{0}\alpha ^{n-1}+a\alpha ^{n-2}\beta +\ldots +a_{n-1}\beta ^{n-1}\right\}$.

Poichè le $a_{i}$, $\alpha$, $\beta$ sono numeri interi, le quantità tra {   } nei secondi membri di queste equazioni sono numeri interi; e perciò questi secondi membri sono rispettivamente divisibili per $\alpha$ e per $\beta$. Altrettanto avverrà quindi dei primi membri; ossia $a_{0}a^{n}$ è divisibile per $\beta$, $a_{n}$, $\beta ^{n}$ per $\alpha$.

Ma, poichè $\alpha$ e $\beta$ sono primi tra loro, $\alpha ^{n}$ è primo con $\beta ,\beta ^{n}$ con $\alpha$. Se ne deduce tosto che $a_{0}$ è divisibile per $\beta ,a_{n}$ divisibile per $\alpha$.                c. d. d.

Ponendo $\beta =1$ in questo teorema si ha:

Corollario Le radici intere della nostra equazione a coefficienti interi sono tutte divisori del termine noto $\mathrm {a_{0}}$.

Se $a_{0}=1$ dal precedente teorema si trae:

Corollario Se $\mathrm {a_{0}=1}$, la nostra equazione non può avere radici fratte, ma soltanto al più radici intere.

Questi teoremi riducono a pochi tentativi la ricerca delle radici intere o fratte di una equazione algebrica. E si potrebbero aggiungere altri teoremi dello stesso tipo, che abbrevierebbero ancora la ricerca.

Note

1. Rinvio ai trattati di algebra complementare chi volesse approfondire tali studii (di cui daremo un breve cenno in un ventura paragrafo).
   Nel trattato di Nomographie del D’Ocagne lo studioso troverà molti metodi grafici per eseguire tali calcoli; metodi che ricorrono all’uso di una bilancia o del galvanometro, si trovano in Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa (edita da Hoepli).